數學教案－二次函數y=ax2+bx+c 的圖象
教學目標 ：
1、使學生進一步理解二次函數的基本性質；
2、滲透解析幾何，數形結合，函數等數學思想.培養學生發現問題解決問題，及邏輯思維的能力.
3、使學生參與教學過程 ，通過主體的積極思維，體驗感悟數學.逐步建立數學的觀念，培養學生獨立地獲取知識的能力.
教學重點：初步理解數形結合的數學思想
教學難點 ：初步理解數形結合的數學思想
教學用具：微機
教學方法：探究式、小組合作學習
教學過程 ：
例1、已知：拋物線y=x2－（m2－1）x－2m2－2
⑴求證：無論m取什么實數，拋物線與x軸一定有兩個交點
⑵m取什么實數時，兩交點間距離最短？是多少？
解：
△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)
=m4－2m2＋1＋8m2＋8
=m4＋6m2＋9
=(m2＋3)2
m2≥0
∴m2＋3＞0
∴△＞0
∴拋物線與x軸有兩個交點
問題：為什么說當△＞0時，拋物線y =ax2+bx+c與x軸有兩個交點.（能否從數和形兩方面說明）
設計意圖：在課堂上創設讓學生說數學的機會，學會合作學習，以達到①經驗共享，在思維的碰撞中共同提高.②學會合作，消除個人中心.③發現自我，提高參與度.④弘揚個體的主體性，形成健康，豐富的個性.
數：點在曲線上，點的坐標滿足曲線的方程.反之，曲線方程的每一個實數解對應的點都在曲線上.拋物線與x軸的交點，既在拋物線上，又在x軸上.所以交點的坐標既滿足拋物線的解析式，也滿足x軸的解析式.設交點坐標為（x，y）
∴
這樣交點問題就轉化成求這個二元二次方程組的解.代入y =0，消去y，轉化成ax2+bx+c=0這個一元二次方程求根問題.根據以前學過的知識，當△＞0時， ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根.∴y =ax2+bx+c
y =0
有兩個不等的實數解
∴拋物線與x軸交于兩個不同的點.
形：頂點在x軸上方，且開口向下.或者頂點在x軸下方，且開口向上.
設計意圖：滲透解析幾何的基本思想
使學生掌握轉化思想使學生在解題過程中，感知數學的直觀性和形式化這二重性.掌握數形結合，分類討論的思想方法.逐步學會數學的思維.
轉化成代數語言為：
小結：第一種方法，根據解析幾何的基本思想.將求曲線的交點問題，轉化成求方程組的解的問題.
第二種方法，借助于圖象思考問題，比較直觀.發現規律后，再用數學的符號語言將其形式化.這既體現了數學中的數形結合的思想方法，也是探索解數學問題的一般方法.
思考：試從數、形兩方面說明拋物線與x軸的交點個數與判別 式的符號的關系.
設計意圖：數學學習是一個再創造的過程，不能等同于數學知識的匯集，而要讓學生經歷數學知識的創造過程.使主體積極地參與到學習中去.以數學知識為載體，揭示出蘊涵于其中的數學思想方法，逐步形成數學觀念.
⑵m取什么實數時,兩交點間距離最短?是多少?
解：設二次函數與x軸的兩交點為(x1,0)，(x2,0)
解法㈠ 由⑴可知m為任何實數時, 都有△＞0
解①
∴ x1＋x2=m2－1
x1·x2=－2(m2＋1)
∴│x2－x1│=
=
=
=
=m2＋3
∴當m =0時,兩交點最小距離為3
這里兩交點間距離是m的函數
設計意圖：培養學生的問題意識.在解題過程中，發現問題，并能運用已有的數學知識，將其一般化，形式化，解決問題，體會數學問題解決的一般方法.培養學生獨立地獲取數學知識的能力.滲透函數思想
問題： 觀察本題兩交點間距離與判別式的值之間有何異同？具有一般的規律嗎？如何說明.
設x1、x2 為ax2+bx+c =0的兩根
可以推出：
還可以理解為頂點到x軸距離最短.
設計意圖：在對比、分析中，明確概念，揭示知識間的聯系，幫助學生建立良好的認知結構.
小結：觀察這道題的結論，我們猜測出規律，將其一般化，推導出這個公式，這是學習數學知識的一般方法.
解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.
思考：一元二次方程與二次函數的關系.
思考：求m取什么實數時，y =x2－（m2－1）x －2 m2－2被直線y =2所截得的線段最短？是多少？
練習：
觀察函數 的圖象，回答：
（1）y>0時，x的取值范圍如何？
（2）y=0時，x取什么值？
（1）y<0時，x的取值范圍如何？
小結：數與形是數學中相互依賴的兩個方面.圖形比較直觀，可以啟發思路；而數學的嚴格證明也是必不可少的.直觀性和形式化是數學的兩重性.
探究活動
探究問題：
欣欣日用品零售商店，從某公司批發部每月按銷售合同以批發單價每把8元購進雨傘（數量至少為100把），欣欣商店根據銷售記錄，這批雨傘以零售單價每把為14元出售時，月銷售量為100把。如果零售單價每降價0.1元 , 月銷售量就要增加5把.
(1) 欣欣日用品零售商店以零售單價14元出售時，一個月的利潤為多少元？
(2) 欣欣日用品零售商店為了擴大銷售記錄,現實行降價銷售,問分別降價0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元時的利潤是多少？
(3) 欣欣日用品零售商店實行降價銷售后，問降價多少元時利潤最大？最大利潤為多少元？
(4) 現在該公司的批發部為了再次擴大這種雨傘的銷售量，給零售商制定如下優惠措施：如果零售商每月從批發部購進雨傘的數量超過100把，其超過100把的部分每把按原價九五折（即百分之95）付費，但零售價每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店應將這種雨傘的零售單價定為每把多少元出售時，才能使這種雨傘的月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少元？（銷售利潤=銷售款額—進貨款額）
解：（1）（14—8） （元）
（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。
（3）設降價 元時利潤最大，最大利潤為 元
=
=
=
∴ 當 時， 有最大值
元
（4）設降價 元時利潤最大，利潤為 元
（其中 ）。
化簡，得 。
，
∴ 當 時， 有最大值。
∴ 。