二次函數y=ax2+bx+c 的圖象

二次函數y=ax2+bx+c 的圖象

第一課時

教學目標 

1.使學生會用描點法畫出二次函數 與 的圖象；

2.使學生能結合圖象確定拋物線 與 的對稱軸與頂點坐標；

3.通過比較拋物線 與 同 的相互關系，培養學生觀察、分析、總結的能力;

4. 在本節的教學中，繼續向學生進行數形結合、轉化的數學思想方法的滲透；

5. 通過本節課的教學，培養學生事物間是互相聯系及互相轉化的辯證唯物主義觀點.

教學重點：畫出形如 與形如 的二次函數的圖象，能指出上述函數圖象的開口方向，對稱軸，頂點坐標.

教學難點 ：理解函數 、 與 及其圖象間的相互關系

教學用具：微機

教學方法：探究式、小組合作學習

教學過程 

一、復習引入

提問：1.什么是二次函數？

2.我們已研究過了什么樣的二次函數？

3.形如 的二次函數的開口方向，對稱軸，頂點坐標各是什么？

通過這三個問題，進一步復習鞏固所學的知識點，同時引出本節課要學習的問題.

從這節課開始，我們就來研究二次函數 的圖象.（板書課題）

二、新課

復習提問：用描點法畫出函數 的圖象，并根據圖象指出：拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標.（插入 的圖片）

教師可邊提問邊打開圖片，然后可以找學生來指出拋物線 的開口方向，對稱軸及頂點坐標，針對學生的回答情況加以總結，評價.

下面，我們來看一下如何完成下面的例題？

例1   在同一平面直角坐標系畫出函數 、 、 的圖象.（插入課件）

（一）函數對應值表的區別.

列表：

列完表之后，讓學生觀察上表歸納出，對于 與 ，任意一個 的值，解析式 的函數值總比 的函數值小1，對于同一個 值， 值總是小1，拋物線上的點向下平行移動一個單位，圖象也向下平移一個單位.對于 與 也這樣分析.分析完表后，再讓同學們看課件中畫出的函數 與 的圖象.

（二）圖象的區別.

然后，由學生來觀察課件上畫出的三條拋物線，讓學生思考下列問題：

（1）拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標是什么？

（2）拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標是什么？

（3）拋物線 ， 與 的開口方向，對稱軸，頂點坐標有何異同？

（4）拋物線 ， 與 有什么關系？

通過這四個問題，可使學生深入理解這三條拋物線之間的聯系與區別，便于學生以后分析問題.

答：形狀相同，位置不同.（繼續演示課件，來說明學生觀察、推理的正確性，激發學生的興趣）

關于上述回答可繼續提問：（可按學生的層次不同來選擇問題的深度）

①你所說的形狀相同具體是指什么？

答：拋物線的開口方向和開口大小都相同.

②根據你所學過的知識能否回答：為何這三條拋物線的開口方向和開口大小都相同？

答：因為a的值相同.

 通過這一問題，使學生對此類問題形成規律：拋物線的形狀相同就說明a的值相同，而a的值相同就可以說拋物線的形狀相同.加深學生對系數a的作用的理解.

③這三條拋物線的位置有何不同？它們之間可有什么關系？

先由學生思考，討論之后，給出答案.

答：若沿y軸平移，這三條拋物線可重合.（演示動畫）

④拋物線 是由拋物線 沿y軸怎樣移動了幾個單位得到的？拋物線 呢？

答：拋物線 是由拋物線 沿y軸向上平移1個單位得到的；而拋物線 是由拋物線 沿y軸向下平移1個單位得到的.

⑤你認為是什么決定了會這樣平移？

答： 中的 的值決定了會這樣平移.若 ，則向上平移，若 ，則向下平移.

練習一 教材P118中1學生獨立完成，口答.

下面，我們再來看一類二次函數的圖象：（演示動畫）

例2在同一平面直角坐標系內畫出 與 的圖象.（插入動畫）

注意：畫這兩個圖形時，參考前面畫圖列表時 的取值都是關于某一個值對稱的，可先讓學生猜測畫這兩個圖時 的取值各以應什么數為中間點，然后左右能對稱.通過這樣的訓練能幫助學生以后自主考慮問題時怎樣找思路列完表之后，與例l一樣處理，演示課件直到三條拋物線全畫出.畫完圖之后的觀察和分析也可仿照例1完成.

注意：（l）關于拋物線 與 的對稱軸的寫法，要加以交待，若曾在講完13.5后閱讀過教科書P.113—115，這個問題就好解決了.若沒有讀過，可由學生討論對稱軸上點的特征來得到對稱軸的表示方法.

（2）這次圖象的平移是沿 軸進行的，平移的單位和方向是由 中的 決定的，特別強調二次函數形式的寫法是 ，而不是 .

練習二P118中2學生獨立完成，口答.

三、本節小結

本節課學習了二次函數 與 的圖象的畫法，主要內容如下。

（出示幻燈）填寫下表：（可讓學生回答）

表一：

表二：

八、布置作業 

教材P124中1（1）、（2）

九、板書設計 

第二課時

一、教學目標 

1.使學生會用描點法畫出二次函數 的圖像；

2.使學生知道拋物線 的對稱軸與頂點坐標；

3.通過本節的學習，繼續培養學生的觀察、分析、歸納、總結的能力；

4.通過本節的教學，繼續向學生進行數形結合的數學思想方法的教育，同時向學生滲透事物間互相聯系、以及運動、變化的辯證唯物主義思想；

5.通過本節課的研究，充分理解并認識到二次函數圖像可運動變化的和諧美，通過數學思維的審美活動，提高對數學美的追求。

二、教學重點

會畫形如 的二次函數的圖像，并能指出圖像的開口方向、對稱軸及頂點坐標。

三、教學難點 ：確定形如 的二次函數的頂點坐標和對稱軸。

4.解決辦法：

四、教具準備

三角板或投影片

1.教師出示投影片，復習 。

2.請學生動手畫 的圖像，正好復習圖像的畫法，完成表格。

3.小結 的性質

4.練習

五、教學過程 

提問：1.前幾節課，我們都學習了形如什么樣的二次函數的圖像？

答：形如 。（板書）

2.這節課我們將來學習一種更復雜的二次函數的圖像及其相關問題，你能先猜測一下我們將學習形如什么樣的二次函數的問題嗎？

由學生參考上面給出的三個類型，較容易得到：討論形如 的二次函數的有關問題.（板書）

一、 復習引入

首先，我們先來復習一下前面學習的一些有關知識.（出示幻燈）

請你在同一直角坐標系內，畫出函數 的圖像，并指出它們的開口方向，對稱軸及頂點坐標.

這里之所以加上畫函數 的圖像，是為了使最后通過圖像的觀察能更全面一些，也更直觀一些，可以同時給出圖像先沿y軸，再沿 軸移動的方式，也可以給出圖像

先沿 軸再沿y軸移動的方式，使這部分知識能更全面，知識與知識之間的聯系能更清晰、更具體.

畫這三個函數圖像，可由學生在同一表中列值，但是要根據各自的不同特點取自變量

的值，以便于學生進行觀察.教師可事先準備好表格和畫有直角坐標系的小黑板，由一名同

學上黑板完成，其他同學在練習本上完成，待同學們基本做完之后加以總結，然后再找三名

同學，分別指出這三個圖像的開口方向、對稱軸及頂點坐標，填入事先準備好的表格中.

然后提問：你能否在這個直角坐標系中，再畫出函數 的圖像？

由于前面幾節課我們已經畫了不少二次函數的圖像，學生對畫圖已經有了一定的經驗，

同時可在畫這個圖時，把這些經驗形成規律，便于學生以后應用.

（l）關于列表：主要是合理選值與簡化運算的把握，是教學要點.在選值時，首先要考慮的是函數圖像的對稱性，因此首先要確定中心值，然后再左，右取相同間隔的值；其次，選值時盡量選取整數，便于計算和描點.

在選取 的值之后，計算y的值時，考慮到對稱性，只需計算中心值一側的值，另一側由對稱性可直接填入，但一定要保證運算正確.

（2）關于描點：一般可先定頂點（即中心值對應的點，然后利用對稱性描出各點，以逐步提高速度.）

（3）關于連線：特別要注意頂點附近的大致走向。最后畫的拋物線應平滑，對稱，并符合拋物線的特點.

由學生在上面的練習中所列的表中填上這個函數及其對應值，然后畫出它的圖像，同樣找一名同學板演.

學生畫完，教師總結完之后，讓學生觀察黑板上畫出的四條拋物線，提問：

（1）你能否指出拋物線 的開口方向，對稱軸，頂點坐標？

將在上面練習中三條拋物線的性質填入所列的有中，如下表：

（2）我們已知拋物線的開口方向是由二次函數 中的a的值決定的，你能通過上表中的特征，試著總結出拋物線的對稱軸和頂點坐標是由什么決定的嗎？

這個問題由于是本節課的重點問題，而且不是很容易說清楚，可由學生進行廣泛的討論，先得出對稱員的表示方法，再得出頂點坐標。若學生在討論時沒有頭緒，教師可適當引導，讓學生把這四個函數都改寫成 的形式，可得
；

。然后從這四個式子中加以觀察，分析，得出結論；（板書）

一般地，拋物線 有如下特點：

① 時，開口向上； 時，開口向下；

②對稱軸是直線 ；

③頂點坐標是 。

（3）拋物線 有什么關系？

答：形狀相同，位置不同。

（4）它們的位置有什么關系？

這個問題可視學生的程度來決定問還是不問，以及回答到什么程度。

根據上節課的學習，學生能想到是平移科來的，可把這四個圖像分成以下幾個問題來討論：①拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？

②拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？

③拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？

④拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？

⑤拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？

這個問題分兩種方式回答：先沿 軸，再沿 軸移動；或先沿 軸，再沿 軸移動。

通過這5個問題可使學生由淺入深地得到這四者之間的關系，如圖所示：

注意：基本形式中的符號，特別是h。

練習：P120練習口答，及時糾正錯誤。

（四）總結、擴展

一般的二次函數，都可以變形成 的形式，其中：

1.a能決定什么？怎樣決定的？

答：a的符號決定拋物線的開口方向；a的絕對值大小拋物線的開口大小。

2.它的對稱軸是什么？頂點坐標是什么？

六、布置作業 

教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中

七、板書設計