下學期 5.3實數與向量的積（通用2篇）
下學期 5.3實數與向量的積 篇1
（第一課時）
一.教學目標
1.理解并掌握實數與向量的積的意義.
2.理解兩個向量共線的充要條件，能根據條件判斷兩個向量是否共線；
3.通過對實數與向量的積的學習培養學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想.
二.教學重點：實數與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件；
教學難點 ：理解實數與向量的積的定義，向量共線的充要條件；
三.教學具準備
直尺、投影儀.
四.教學過程
1.設置情境
我們知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質量等都是數量，這些向量與數量的關系常常在物理公式中體現，如力與加速度的關系f=ma，位移與速度的關系s=vt.這些公式都是實數與向量間的關系.
師：我們已經學習了向量的加法，請同學們作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？
生： 的長度是 的長度的3倍，其方向與 的方向相同， 的長度是 長度的3倍，其方向與 的方向相反.
師：很好！本節課我們就來討論實數與向量的乘積問題，（板書課題：實數與向量的乘積（一））
2.探索研究
師：請大家根據上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數與向量的積？可結合教材思考.
生：我想這樣規定：實數 與向量 的積就是 ，它還是一個向量.
師：想法很好.不過我們要對實數 與向量 相乘的含義作一番解釋才行.
實數 與向量 的積是一個向量，記作 ，它的長度和方向規定如下：
（1）
（2） 時， 的方向與 的方向相同；當 時， 的方向與 的方向相反；特別地，當 或 時，
下面我們討論作為數乘向量的基本運算律：
師：求作向量 和 （ 為非零向量）并進行比較，向量 與向量 相等嗎？（引導學生從模的大小與方向兩個方面進行比較）
生： ，
師：設 、 為任意向量， ， 為任意實數，則有：
（1） （2） （3）
通常將（1）稱為結合律，（2）（3）稱為分配律，有時為了區別，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律.
請看例題
【例1】計算：（1） ， （2） .
（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式 .
下面我們研究共線向量與實乘向量的關系.
師：請同學們觀察 ， ，有什么關系.
生：因為 ，所以 、 是共線向量.
師：若 、 是共線向量，能否得出 ？為什么，可得出 嗎？為什么？
生：可以！因為 、 共線，它們的方向相同或相反.
師：由此可得向量共線的充要條件.向量 與非零向量 共線的充分必要條件是有且僅有一個實數 ，使得
此即教材中的定理.
對此定理的證明，是兩層來說明的.
其一，若存在實數 ，使 ，則由實數與向量乘積定義中的第（2）條知 與 共線，即 與 共線.
其二，若 與 共線，且不妨令 ，設 （這是實數概念）.接下來看 、 方向如何：① 、 同向，則 ，②若 、 反向，則記 ，總而言之，存在實數 （ 或 ）使 .
【例2】如圖：已知 ， ，試判斷 與 是否共線.
解：∵
∴ 與 共線.
練習（投影儀）
設 、 是兩個不共線向量，已 ， ，若 、 、 三點共線，求 的值.
參考答案
∵ 、 、 三點共線.
∴ 、 共線 存在實數 ，使
即
∴ ，
3.練習反饋（投影儀）
（1）若 為 的對角線交點， ， ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
（2）在△ 中，點 、 、 分別是邊 、 、 的中點，那么 .
（3）如圖所示，在平行四邊形 中， 是 中點，點 是 上一點， 求證 、 、 三點共線.
參考答案：
（1）B； （2） ；
（3）設 ， 則 又 ，∴ ∴ 、 、 共線.
4.總結提煉
（1） 與 的積還是向量， 與 是共線的.
（2）一維空間向量的基本定理的內容和證明思路，也是應用該定理解決問題的思路.該定理主要用于證明點共線、求系數、證直線平行等題型問題.
（3）運算律暗示我們，化簡向量代數式就像計算多項式一樣去合并同類項.
五.板書設計
1.實數與向量的積定義
2.運算律
①
②
③
3.向量共線定理
例1
2
演練反饋
總結提煉
下學期 5.3實數與向量的積 篇2
（第二課時）
一.教學目標
1.了解平面向量基本定理的證明.掌握平面向量基本定理及其應用；
2.能夠在解題中適當地選擇基底，使其它向量能夠用選取的基底表示.
二.教學重點：平面向量基本定理
教學難點 ：理解平面向量基本定理.
三.教學具準備
直尺、投影儀.
四.教學過程
1.設置情境
上節課我們學習了共線向量的基本定理，通過它們判定兩個向量是否平行，而且共線向量可由該集合中的任一非零向量表示出來.這個非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有類似屬性呢？如果是這樣的話，對平面上任一向量的研究就可以化歸為對基向量的研究了.
2.探索研究
師：向量 與非零向量 共線的充要條件是什么？
生：有且僅有一個實數 ，使得
師：如何作出向量 ？
生：在平面上任取一點 ，作 ， ，則
師：對！我們知道向量 是向量 與 的合成， 、 也可以看做是由向量 的分解，是不是每一個向量都可以分解兩個不共線的向量呢？
平面向量基本定理：如果 、 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， 使
我們把不共線的向量 、 叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.
說明：①實數 ， 的確定是由平面幾何作圖得到的，同時也應用了上節課的共線向量基本定理.
②對該定理重在使用.
下面看例題
【例1】已知向量 、 ，求作 .
【例2】如圖所示， 的兩條對角線相交于點 ，且 ， ，用 、 表示 、 、 和 ？
解：在 中
∵
∴
說明：①這些表示方法很常用，要熟記
②用向量法討論幾何問題，關鍵是選取適當的基向量表示其他向量，本題的基底就是 、 ，由它可以“生”成 ， ，…….
【例3】如圖所示，已知 的兩條對角線 與 交于 ， 是任意一點，求證
證明：∵ 是對角線 和 的交點
∴ ， .在△ 中，
同理：
相加可得：
注：本題也可以取基本向量 ， ， ， ，利用三角形中線公式（向量），得 兩種表示方式：
①
②
①＋②得 證畢.
【例4】如圖所示 、 不共線， （ ），用 ， 表示 .
解 ∵
∴
說明：①本題是個重要題型：設 為平面上任一點.
則： 、 、 三點共線
或令 ， 則 、 、 三點共線 （其中 ）
②當 時， 常稱為△ 的中線公式（向量式）.
3.演練反饋
（1）命題 ：向量 與 共線；命題 ：有且只有一個實數 ，使 ；則 是 的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.不充分不必要條件
（2）已知 和 不共線，若 與 共線，則實數 的值等于____________.
（3）如圖△ 中，點 是 的中點，點 在邊 上，且 ， 與 相交于點 ，求 的值.
參考答案：
（1）B （2）
（3）解：（如圖）設 ， ，則 ，
，∵ 、 、 和 、 、 分別共線，∴存在 、 ，使 ， .
故 ，而 .
∴由基本定理得 ∴ ∴ ，即
4.總結提煉
（1）當平面內取定一組基底 ， 后，任一向量 都被 、 惟一確定，其含義是存在惟一這數對 ，使 ，則必有 且 .
（2）三點 、 、 共線 （其中 且 ）
五.板書設計