下學期 5.2向量的加法與減法（通用2篇）
下學期 5.2向量的加法與減法 篇1
（第一課時）
一.教學目標
（1）掌握向量的加法的定義，會用向量加法的三角形法則和會用向量加法的平行四邊形法則作兩個向量的和向量；
（2）掌握向量加法的交換律和結合律，并會用它們進行計算；
（3）啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題；
（4）培養學生化歸的數學思想.
二.教學重點：向量的加法的定義，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和向量；
教學難點 ：對向量加法定義的理解.
三.教具：多媒體、實物投影儀
四.教學過程
1.設置情境
請同學看這樣一個問題：（投影）
（1）由于大陸和中國臺灣沒有直航，因此2003年春節探親，要先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和時什么？
（2）如圖（2），飛機從 到 ，再改變方向從 到 ，則兩次位移的和是 ，應該是_____________.
（3）如圖（3），船的速度是 ，水流速度是 則兩個速度的和是 應該是___________.
生：（1）這人兩次的位移的和是從臺北到上海；（2）飛機兩次位移的和是 ；（3）兩個速度的和是 .
師：很好！兩人向量的和仍是一個向量.本節課就來研究兩個向量的和（板書課題：向量的加法）.
2.探索研究
（1）向量的加法的定義：
已知向量 ，在平面內任取一點A，作 ，則向量 叫做向量 的和。記作： 即
零向量與任意向量 ，有
（2）兩個向量的和向量的作法：
①三角形法則:兩個向量“首尾”相接
注意：1°三角形法則對于兩個向量共線時也適用；
2°兩個向量的和向量仍是一個向量
例1.已知向量 ，求作 向量
作法：在平面內任取一點O，作 ，則
②平行四邊形法則：
由同一點A為起點的兩個已知向量 為鄰邊作平行四邊形BCD，則以A為起點的向量 就是向量 的和。這種作兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則
注意：平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用
3.向量和與數量和的區別：
①當向量 不共線時， 的方向與 不同向，且
②當向量 同向時， 的方向與 同向，且
當向量 反向時，若 ，則 的方向與 同向，且 ；若 ，則 的方向與 反向，且 ；4.向量的運算律：
①交換律：
證明：當向量 不共線時,如上圖，作平行四邊形ABCD，使 ，
則 ,
因為 ，
所以
當向量 共線時，若 與 同向，由向量加法的定義知：
與 同向，且
與 同向，且 ，所以
若 與 反向，不妨設 ，同樣由向量加法的定義知：
與 同向，且
與 同向，且 ，所以
綜上，
②結合律：
學生自己驗證。
由于向量的加法滿足交換律和結合律，對于多個向量的加法運算就可以按照任意的次序與任意的組合來進行了
例如：
例2.如圖，一艘船從A點出發以 的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時喝水的流速為 ，求船實際航行的速度的大小與方向。
解：設 表示船垂直于對岸的速度， 表示水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則 就是船實際航行的速度
在 中， ，
所以
因為
答：船實際航行的速度的大小為 ，方向與水流速間的夾角為
4.演練反饋（投影）
（1）在平行四邊形 中， ， 則用 、 表示向量 的是（ ）
A. ＋ B. C.0 D. ＋
（2）若 為△ 內一點， ，則 是△ 的（ ）
A.內心 B.外心 C.垂心 D.重心
（3）下列各等式或不等式中一定不能成立的個數（ ）
① ②
③ ④
A.0 B.1 C.2 D.3
5.總結提煉
（1） 是一個向量，在三角形法則下：平移 向量，使 的起點與 的終點重合，則 就是以 的起點為起點， 的終點為終點的新向量.
（2）一組首尾相接的向量和： ，如圖.
（3）對任意兩個向量 、 ，任有 成立.
五.板書設計
1.引例揭示課題
2.例1
例2
演練反饋
總結提煉
下學期 5.2向量的加法與減法 篇2
（第二課時）
一.教學目標
1.明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會作兩個向量的差向量；
2.能利用向量減法的運算法則解決有關問題；
3.啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題；
4.過闡述向量的減法運算可以轉化為向量加法運算及多個向量的加法運算可以轉化成兩個向量的加法運算，可以滲透化歸的數學思想，使學生理解事物之間相互轉化，相互聯系的辨證思想，同時由于向量的運算能反映出一些物理規律，從而加強了數學學科與物理學科之間的聯系，提高學生的應用意識.
二.教學重點：向量的減法的定義，作兩個向量的差向量；
教學難點 ：對向量減法定義的理解.
三.教 具：多媒體、實物投影儀
四.教學過程
1.設置情境
上節課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法.本節課，我們繼續學習向量加法的逆運算：減法（板書課題：向量的減法）
2.探索研究
（1）向量減法
①相反向量：與 長度相等，方向相反的向量叫做相反向量。記作
規定：零向量的相反向量仍是零向量
注意：1° 與 互為相反向量。即
2°任意向量與它的相反向量的和是零向量。即
3°如果 、 是互為相反向量，那么
② 與 的差：向量 加上 的相反向量，叫做 與 的差
即
③向量的減法：求兩個向量的差的運算叫做向量的減法
④ 的作法：已知向量 、 ，在平面內任取一點O，作 ，則 。即 可以表示為從向量 的終點指向向量 的終點的向量
⑤思考：為從向量 的終點指向向量 的終點的向量是什么？（ ）
師：還可以從加法的逆運算來定義，如下圖所示，因為 ，所以 就是 ，因而只要作出了 ，也就作出了 .
要作出 ，可以在平面內任取一點 ，作 ， ，則 .
師：若兩向量平行，如何作它們的差向量？兩個向量的差仍是一個向量嗎？它們的大小如何（ 的幾何意義）？方向怎樣？
生：兩個向量的差還是一個向量， 的大小是 ，是連接 、 的終點的線段，方向指向被減向量.
練習：（投影）
判斷下列命題的真假
（1） .（ ）
（2）相反向量就是方向相反的向量.（ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
參考答案：√、×、×、×
（2）例題分析
【例1】已知向量 、 、 、 ，求作向量 ，
師：已知的四個向量的起點不同，要作向量 與 ，首先要做什么？
生：首先在平面內任取一點 ，作 ， ， ，
作 、 ，則 ，
【例2】如圖所示， 中 ， ，用 、 表示向量 、 .
師：由平行四邊形法則得
由作向量差的方法
得
練習：（投影）
對例2進行變式訓練
變式一，本例中，當 、 滿足什么條件時， 與 互相垂直？
變式二，本例中，當 、 滿足什么條件時， ？
變式三，本例中， 與 有可能相等嗎？為什么？
參考答案：
變式一：當 為菱形時，即 時， 與 垂直.
變式二：當 為長方形時 ，即 .
變式三：不可能，因為 的對角線總是方向不同的.
3.演練反饋（投影）
（1）△ 中， ， ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
（2）下列等式中，正確的個數是（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ .
A.5 B.4 C.3 D.2
（3）已知 ， ，則 的取值范圍是_____________.
參考答案：（1）B； （2）B； （3）［3，13］
4.總結提煉
（1）相反向量是定義向量減法的基礎，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量：
（2）向量減法有兩種定義：①將減法運算轉化為加法運算： ②將減法運算定義為加法運算的逆運算：如果 ，則 .從作圖上看這兩種定義沒有本質區別，前一個定義就是教材采用的定義法，但作圖稍繁一點；后一種定義便于作圖和記憶，兩個有相同起點的向量相減，所得向量是連接兩向量終點，并且指向被減向量的終點.
五.板書設計
向量的減法
相反向量 例1. 例2.
向量的減法