下學期 4.8正弦函數、余弦函數的圖像和性質（通用3篇）
下學期 4.8正弦函數、余弦函數的圖像和性質 篇1
4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第三課時）
（一）教學具準備
直尺、投影儀.
（二）教學目標
1.理解 ， 的周期性概念，會求周期.
2.初步掌握用定義證明 的周期為 的一般格式.
（三）教學過程
1.設置情境
自然界里存在著許多周而復始的現象，如地球的自轉和公轉，物理學中的單擺運動和彈簧振動、圓周運動等.數學里從正弦函數、余弦函數的定義可知，角 的終邊每轉一周又會與原來的位置重合，故 ， 的值也具有周而復始的變化規律.為定量描述這種周而復始的變化規律，今天，我們來學習一個新的數學概念——函數的周期性（板書課題）
2.探索研究
（1）周期函數的定義
引導學生觀察下列圖表及正弦曲線
0
0
1
0
－1
0
1
0
－1
0
正弦函數值當自變量增加或減少一定的值時，函數值就重復出現.
聯想誘導公式 ，若令 則 ，由這個例子，我們可以歸納出周期函數的定義：
對于函數 ，如果存在一個非零常數 ，使得當 取定義域內的每一個值時，都有 ，那么函數 叫做周期函數，非零常數 叫做這個函數的周期.
如 ， ，…及 ， …都是正弦函數的周期.
注意：周期函數定義中 有兩點須重視，一是 是常數且不為零；二是等式必須對定義域中的每一個值時都成立.
師：請同學們思考下列問題：①對于函數 ， 有 能否說 是正弦函數 的周期.
生：不能說 是正弦函數 的周期，這個等式雖成立，但不是對定義域的每一個值都使等式 成立，所以不符合周期函數的定義.
② 是周期函數嗎？為什么
生：若是周期函數，則有非零常數 ，使 ，即 ，化簡得 ，∴ （不非零），或 （不是常數），故滿足非零常數 不存在，因而 不是周期函數.
思考題：若 為 的周期，則對于非零整數 ， 也是 的周期.（課外思考）
（2）最小正周期的定義
師：我們知道…， ， ， ， …都是正弦函數的周期，可以證明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期.
一般地，對于一個周期函數 ，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做 的最小正周期.
今后若涉及的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數的最小正周期.
依據定義， 和 的最小正周期為 .
（3）例題分析
【例1】求下列函數的周期：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） ， .
分析：由周期函數的定義，即找非零常數 ，使 .
解：（1）因為余弦函數的周期是 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，余弦函數的值才能重復取得，函數 ， 的值也才能重復取得，從而函數 ， 的周期是 .
即 ，∴
（2）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數 ， 的周期是 ，就是說，變量 只要并且至少要增加到 ，函數 ， 的值才能重復取得，而 所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數值就能重復取得，從而函數 ， 的周期是 .
即
∴
（3）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數 ， 的周期是 ，由于 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數值才能重復取得，即 是能使等式 成立的最小正數，從而函數 ， 的周期是 .
而
∴
師：從上例可以看出，這些函數的周期僅與自變量 的系數有關，其規律如何？你能否求出函數 ， 及函數 ， （其中 ， ， 為常數，且 ， ）的周期？
生：
∴ .
同理可求得 的周期 .
【例2】求證：
（1） 的周期為 ；
（2） 的周期為 ；
（3） 的周期為 .
分析：依據周期函數定義 證明.
證明：（1）
∴ 的周期為 .
（2）
∴ 的周期為 .
（3）
∴ 的周期為 .
3.演練反饋（投影）
（1）函數 的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
（2） 的周期是_________
（3）求 的最小正周期.
參考答案：
（1）C；（2） ∴
（3）欲求 的周期，一般是把三角函數 化成易求周期的函數 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多個化一個，高次化一次”，將所給函數化成單角單函數.
由
4.總結提煉
（1）三角函數所特有的性質是周期性，周期與最小正周期是不同概念，研究三角函數的周期時，如未特別聲明，一般是指它的最小正周期.
（2）設 ， .若 為 的周期，則必有：① 為無限集，② ；③ 在 上恒成立.
（3）只有 或 型的三角函數周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用.如 ，就不能說它的周期為 .
（四）板書設計
課題
1.周期函數定義
兩點注意：
思考問題①
②
2.最小正周期定義
例1
例2
的周期
的周期
練習反饋
總結提煉
思考題：設 是定義在 上的以2為周期的周期函數，且是偶函數，當 時， ，求 上的表達式
參考答案：
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4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第一課時）
（一）教學具準備
直尺、圓規、投影儀.
（二）教學目標
1.了解作正、余弦函數圖像的四種常見方法.
2.掌握五點作圖法，并會用此方法作出 上的正弦曲線、余弦曲線.
3.會作正弦曲線的圖像并由此獲得余弦曲線圖像.
（三）教學過程 （可用課件輔助教學）
1.設置情境
引進弧度制以后， 就可以看做是定義域為 的實變量函數.作為函數，我們首先要關注其圖像特征.本節課我們一起來學習作正、余弦函數圖像的方法.
2.探索研究
（1）復習正弦線、余弦線的概念
前面我們已經學習過三角函數線的概念及作法，請同學們回憶一下什么叫正弦線？什么叫余弦線？（師畫圖1）
設任意角 的終邊與單位圓相交于點 ，過點作 軸的垂線，垂足為 ，則有向線段 叫做角 的正弦線，有向線段 叫做角 的余弦線.
（2）在直角坐標系中如何作點
由單位圓中的正弦線知識，我們只要已知一個角 的大小，就能用幾何方法作出對應的正弦值 的大小來，請同學們思考一下，如何用幾何方法在直角坐標系中作出點 ？
教師引導學生用圖2的方法畫出點 .
我們能否借助上面作點 的方法在直角坐標系中作出正弦函數 ， 的圖像呢？
①用幾何方法作 ， 的圖像
我們知道，作函數的圖像的步驟是：列表、描點、連結；如果我們用列表法得出各點的坐標，就會因各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值不夠精確，使得描點后畫出的圖像誤差也大，為克服這一不足，我們用前面作點 的幾何方法來描點，從而使圖像的精確度有了提高.
（邊畫圖邊講解），我們先作 在 上的圖像，具體分為如下五個步驟：
a.作直角坐標系，并在直角坐標系中 軸左側畫單位圓.
b.把單位圓分成12等份（等份越多，畫出的圖像越精確）.過單位圓上的各分點作 軸的垂線，可以得到對應于0， ， ， ，…， 角的正弦線.
c.找橫坐標：把 軸上從0到 （ ）這一段分成12等分.
d.找縱坐標：將正弦線對應平移，即可指出相應12個點.
e.連線：用平滑的曲線將12個點依次從左到右連接起來，即得 ， 的圖像.
②作正弦曲線 ， 的圖像.
圖為終邊相同的角的三角函數值相等，所以函數 ， ， 且 的圖像與函數 ， 的圖像的形狀完全一樣，只是位置不同，于是我們只要將函數 ， 的圖像向左、右平移（每次 個單位長度），就可以得到正弦函數數 ， 的圖像，如圖1.
正弦函數 ， 的圖像叫做正弦曲線.
③五點法作 ， 的簡圖
師：在作正弦函數 ， 的圖像時，我們描述了12個點，但其中起關鍵作用的是函數 ， 與 軸的交點及最高點和最低點這五個點，你能依次它們的坐標嗎？
生：（0，0）， ， ， ，
師：事實上，只要指出這五個點， ， 的圖像的形狀就基本確定了，以后我們常先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連結起來，就得到函數的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖.
④用變換法作余弦函數 ， 的圖像
因為 ，所以 ， 與 是同一個函數，即余弦函數的圖像可以通過正弦曲線向左平移 個長度單位角得到，余弦函數的圖像叫做余弦曲線，如圖2，師：請同學們說出在函數 ， 的圖像上，起關鍵作用的五個點的坐標.
生：（0，1）， ， ， ，
3.例題分析
【例1】畫出下列函數的簡圖：
（1） ， ；
（2） ， .
解：（1）按五個關鍵點列表
0
0
1
0
－1
0
1
2
1
0
1
利用五點法作出簡圖3
師：請說出函數 與 的圖像之間有何聯系？
生：函數 ， 的圖像可由 ， 的圖像向上平移1個單位得到.
（2）按五個關鍵點列表
0
1
0
－1
0
1
－1
0
1
0
－1
利用五點法作出簡圖4
師： ， 與 ， 的圖像有何聯系？
生：它們的圖像關于 軸對稱.
練習：
（1）說出 ， 的單調區間；
（2）說出 ， 的奇偶性.
參考答案：（1）由 ， 圖像知、 ， 為其單調遞增區間， 為其單調遞減區間
（2）由 ， 圖像知 是偶函數.
4.總結提煉
（1）本課介紹了四種作 ， 圖像的方法，其中五點作圖法最常用，要牢記五個關鍵點的選取特點.
（2）用平移誘變法，由 這不是新問題，在函數一章學習平移作圖時，就使用過，請同學們作比較.應該說明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右.
5.演練反饋，（投影）
（1）在同一直角坐標系下，用五點法分別作出下列函數的圖像
① ， ② ，
（2）觀察正弦曲線和余弦曲線，寫出滿足下列條件的 的區間.
① ， ② ， ③ ， ④
（3）畫出下列函數的簡圖
① ， ② ， ③ ，
參考答案：
（1）
（2）① ， ， ② 、 ，
③ ④
（3）
（五）板書設計
課題
1.正、余弦函數線
2.作點
3.作 ， 的圖像
4.五點法作正弦函數圖像
5.變換法作 的圖像
6.五點法作余弦函數圖像
7.例題
（1）
（2）
演練反饋
總結提煉
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下學期 4.8正弦函數、余弦函數的圖像和性質 篇3
4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第二課時）
（一）教學具準備
直尺，投影儀.
（二）教學目標
1.掌握 ， 的定義域、值域、最值、單調區間.
2.會求含有 、 的三角式的定義域.
（三）教學過程
1.設置情境
研究函數就是要討論一些性質， ， 是函數，我們當然也要探討它的一些屬性.本節課，我們就來研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質.
2.探索研究
師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？
生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等.
師：很好，今天我們就來探索 ， 兩條最基本的性質——定義域、值域.（板書課題正、余弦函數的定義域、值域.）
師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像.
師：請同學思考以下幾個問題：
（1）正弦、余弦函數的定義域是什么？
（2）正弦、余弦函數的值域是什么？
（3）他們最值情況如何？
（4）他們的正負值區間如何分？
（5） 的解集如何？
師生一起歸納得出：
（1）正弦函數、余弦函數的定義域都是 .
（2）正弦函數、余弦函數的值域都是 即 ， ，稱為正弦函數、余弦函數的有界性.
（3）取最大值、最小值情況：
正弦函數 ，當 時，（ ）函數值 取最大值1，當 時，（ ）函數值 取最小值－1.
余弦函數 ，當 ，（ ）時，函數值 取最大值1，當 ，（ ）時，函數值 取最小值－1.
（4）正負值區間：
（ ）
（5）零點： （ ）
（ ）
3.例題分析
【例1】求下列函數的定義域、值域：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ，
（2）由 （ ）
又∵ ，∴
∴定義域為 （ ），值域為 .
（3）由 （ ），又由
∴
∴定義域為 （ ），值域為 .
指出：求值域應注意用到 或 有界性的條件.
【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時 的集合：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） （4） .
解：（1）當 ，即 （ ）時， 取得最大值
∴函數的最大值為2，取最大值時 的集合為 .
（2）當 時，即 （ ）時， 取得最大值 .
∴函數的最大值為1，取最大值時 的集合為 .
（3）若 ， ，此時函數為常數函數.
若 時， ∴ 時，即 （ ）時，函數取最大值 ，
∴ 時函數的最大值為 ，取最大值時 的集合為 .
（4）若 ，則當 時，函數取得最大值 .
若 ，則 ，此時函數為常數函數.
若 ，當 時，函數取得最大值 .
∴當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ；當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ，當 時，函數無最大值.
指出：對于含參數的最大值或最小值問題，要對 或 的系數進行討論.
思考：此例若改為求最小值，結果如何？
【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件？
（1） ； （2） .
解：（1）由 ，
∴當 時，式子有意義.
（2）由 ，即
∴當 時，式子有意義.
4.演練反饋（投影）
（1）函數 ， 的簡圖是（ ）
（2）函數 的最大值和最小值分別為（ ）
A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4
（3）函數 的最小值是（ ）
A. B.－2 C. D.
（4）如果 與 同時有意義，則 的取值范圍應為（ ）
A. B. C. D. 或
（5） 與 都是增函數的區間是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（6）函數 的定義域________，值域________， 時 的集合為_________.
參考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6. ； ；
5.總結提煉
（1） ， 的定義域均為 .
（2） 、 的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的 集合為無限集.
（5）正負敬意及零點，從圖上一目了然.
（6）單調區間也可以從圖上看出.
（五）板書設計
1.定義域
2.值域
3.最值
4.正負區間
5.零點
例1
例2
例3
課堂練習
課后思考題：求函數 的最大值和最小值及取最值時的 集合
提示：