下學期 5.1 向量
一.教學目標
1.理解向量、零向量、單位向量、相等向量的意義，并能用數學符號表示向量；
2.理解向量的幾何表示，會用字母表示向量；
3.了解平行向量、共線向量、和相等向量的意義，并會判斷向量的平行、相等、共線；
4.通過對向量的學習，使學生對現實生活的向量和數量有一個清楚的認識，培養學生進行唯物辯證思想.
二.教學具準備
直尺、投影儀.
三.教學過程
1.設置情境
師：（邊畫圖邊講解）美國“小鷹”號航空母艦導彈發射處接到命令：向1200公里處發射兩枚戰斧式巡航導彈（精度10米左右，射程超過2000公里），試問導彈是否能擊中伊拉克的軍事目標？
生：不能，因為沒有給定發射的方向.
師：現實生活中還有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？
生：力、速度、加速度等有大小也有方向，溫度和長度只有大小沒有方向.
師：對！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我們把既有大小又有方向的量叫做向量.數學中用點表示位置，用射線表示方向.常用一條有向線段表示向量.在數學中，通常用點表示位置，用射線表示方向.
（1）意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等
（2）向量的表示方法：
①幾何表示法：點和射線
有向線段——具有一定方向的線段
有向線段的三要素：起點、方向、長度
符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段記作 （注意起訖）.
②字母表示法： 可表示為 （印刷時用黑體字）
例 用1cm表示5n mail（海里）
（3）模的概念：向量 的大小——長度稱為向量的模。
記作：| |，模是可以比較大小的
注意：①數量與向量的區別：
數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。
②從19世紀末到20世紀初，向量就成為一套優良通性的數學體系，用以研究空間性質。
2.探索研究（學生自學概念）
（1）介紹向量的一些概念
師：長度為零的向量叫什么向量？如何表示？長度為1的向量叫做什么向量？是不是只有一個？（學生看書回答）
生：長度為零的向量叫做零向量，表示為：0；長度等于1的向量叫做單位向量，有許多個，每個方向都有一個.
師：滿足什么條件的兩個向量是相等向量？符號如何表示？單位向量是相等向量嗎？
生：如果兩個向量大小相等且方向相同，那么這兩個向量叫做相等向量，a=b單位向量不一定是相等向量，單位向量的方向不一定相同.
師：有一組向量，它們的方向相同或相反，那么這組向量有什么關系？
生：平行.
師：對！我們把方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量，符號如何表示？如果我們把一組平行向量的起點全部移到同一點 ，這時它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系？
生：是平行向量，a//b，各向量的終點都在同一條直線上.
師：對！由此，我們把平行向量又叫做共線向量.
（2）例題分析
【例1】判斷下列命題真假或給出問題的答案
（1）平行向量的方向一定相同？
（2）不相等的向量一定不平行.
（3）與零向量相等的向量是什么向量？
（4）與任何向量都平行的向量是什么向量？
（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？
（6）兩個非零向量相等的充要條件是什么？
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？
解：（1）根據定義：平行向量可以方向相反，故命題（1）為假；
（2）平行向量沒有長、短要求，故命題（2）為假；
（3）只有零向量；
（4）零向量；
（5）平行向量；
（6）模相等且方向相同；
（7）不一定，只要它能被平移成共線就行.
說明：零向量是向量，只不過它的起、終點重合.依定義、其長度為零.
【例2】如圖，設 是正六邊形 的中心，分別寫出圖中與向量 、 ，相等的向量.
解：
練習：（投影）在上題中
變式一，與向量 長度相等的向量有多少個？（11個）
變式二，是否存在與向量 長度相等，方向相反的向量？（存在）
變式三，與向量 共線的向量有哪些？（有 、 和 ）
3.演練反饋（投影）
（1）下列各量中是向量的是（ ）
A.動能 B.重量 C.質量 D.長度
（2）等腰梯形 中，對角線 與 相交于點 ，點 、 分別在兩腰 、 上， 過 且 ，則下列等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
（3）物理學中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共線向量
參考答案：（1）B； （2）D； （3）相等，相反
4.總結提煉
（1）描述一個向量有兩個指標：模、方向.
（2）平行概念不是平面幾何中平行線概念的簡單移植，這兒的平行是指方向相同或相反的一對向量，它與長度無關，它與是否真的不在一條直線上無關.
（3）向量的圖示，要標上箭頭及起、終點，以體現它的直觀性.
四.板書設計
向 量 1.向量的定義 2.表示法 6.例題 3.零向量和單位向量 7.演練反饋 4.平行向量（共線向量） 8.總結提煉 5.相等向量 |