不等式教案（通用8篇）
不等式教案 篇1
1、 ( 、 )。
2、 ( 、 , )(當且僅當 時取等號)。
3、若 、 、 且 ,則 (真分數的分子分母加上同一個正數,值變大)。
4、若 、 、 且 ,則 。
5、 。
6、一個重要的均值不等式鏈:設 ,則有 (當且僅當 時取等號)。
7、若已知條件中含有或隱含著" "或" "這一信息,常常可以設" "用這種和式增量法來證明不等式、求值、或比較大小。
8、不等式證明常用的放縮方法:
(1) ;
(2) 。
七、解析幾何:
1、兩條平行直線 和 之間的距離為 。
2、直線 過定點 ,且點 在圓 內,則 與圓 必相交。
過圓內一點 的弦長,以直徑為最大,垂直于 ( 為圓心)的弦為最小。
3、直線在 軸、 軸上的截距相等包含有直線過原點這一特殊情況。
4、直線過定點 時,根據情況有時可設其方程為 ( 時直線 )應用點斜式解題,應檢驗直線斜率不存在的情況。
5、 已知圓的方程是 和點 ,若點 是圓上的點,則方程 表示過點 的圓的切線方程;若點 在圓外,則方程 表示過點 向圓所作的兩條切線的切點所在的直線方程(又稱切點弦方程)。
6、過圓 上一點 的圓的切線方程是:
。
7、圓 和 相交于 、 兩點,則直線 為這兩圓的"根軸",其方程為 (即為公共弦 所在的直線方程。利用此法,可以推導圓的切點弦方程)。
8、已知一個圓的直徑端點是 、 ,則圓的方程是:
。
9、給一定點 和橢圓: , 、 分別為左右焦點,有如下性質:
(1)若點 在橢圓上,則 , (由橢圓第二定義推出);
(2)若點 在橢圓上,過這一點的橢圓的切線方程則可表示為: ;
(3)若點 在橢圓外,則這一點對應的橢圓的切點弦可表示為: ;
(4)若點 在橢圓內,則這一點對應的橢圓的極線可表示為: ;
補充:直線 與橢圓 相切的充要條件是:
。
10、三種圓錐曲線的通徑(通徑是最短的焦點弦):
(1)橢圓 的通徑長為 ;
(2)雙曲線 的通徑長為 ;
(3)拋物線 的通徑長為 。
11、雙曲線的焦半徑公式:點 為雙曲線 上任意一點, 、 分別為左右焦點
(1)若 在右支上,則 , ;
(2)若 在左支上,則 , 。
12、雙曲線標準方程(焦點在 軸或 軸上)的統一形式為 ( ),雙曲線 的漸近線方程為 ,也可記作 。
13、過拋物線 的焦點且傾斜角為 的弦 , 時,最短弦長為 ,即為拋物線的通徑。
14、圓錐曲線中幾條特殊的垂直弦和定點弦:
(1)過拋物線 的頂點作兩條互相垂直的弦 ,則弦 過定點 ;
(2)過拋物線 的頂點作兩條互相垂直的弦 ,點 分別為 的中點,則直線 過定點 ;
(3)過拋物線 上一點 作兩條互相垂直的弦 ,則弦 過定點 ;
(4)過橢圓 的中心 作兩條相互垂直的弦 ,則原點到弦ab的距離為定值: ,且 (此時弦ab最短), (此時弦ab最長);
(5)過橢圓 的右頂點 作兩條相互垂直的弦 ,則弦mn過定點: ;
(6)過橢圓 的右焦點 作兩條相互垂直的弦 ,點 分別為 的中點,則直線mn過定點: ;
(7)過雙曲線 的中心 作兩條相互垂直的弦 ,則原點到弦ab的距離為定值: ;
15、過拋物線 上一點 的焦半徑 ;若 、 是過焦點 弦的端點, , 則:
(1) , ;
(2) ;
(3) ( 為直線 與 軸的夾角);
(4)若 、 在準線 上的射影分別為 、 ,則 ;
(5)以焦點弦 為直徑的圓與準線 相切,切點為 的中點;
(6)以焦半徑 為直徑的圓與 軸相切;
(7)以 為直徑的圓與焦點弦 相切,切點為焦點f;
16、過拋物線的準線與對稱軸的交點作拋物線的兩條切線,則切點弦長等于該拋物線的通徑。過拋物線 的對稱軸上任意一點 作拋物線的切線,切點分別為 、 ,則直線過定點 。
17、由拋物線焦點發出的光線,經過拋物線上一點反射后,反射光線平行拋物線的軸。
18、若雙曲線的兩條漸近線方程分別為 ,則對應雙曲線方程可設為為 為參數)。
19、等軸雙曲線的離心率 ;雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長 。
20、若一直線被雙曲線及兩條漸近線所截,則夾在雙曲線與漸近線間的線段長相等。
21、點與圓錐曲線的位置關系:
(1)若點 在拋物線 內部,則 。
若點 在拋物線 外部,則 ;
(2)若點 在 內部,則 。
若點 在 外部,則 ;
(3)雙曲線 內的點 (指點在雙曲線弧內),滿足 ;
雙曲線 外的點 (指點在雙曲線弧外),滿足 。
22、若直線 與二次曲線交于 、 兩點,則由:
,知直線與二次曲線相交所截得的弦長:
其中 (涉及直線與二次曲線相交的位置關系應注意 ,還需要注意圓錐曲線本身的范圍。若求弦所在直線的斜率常用"點差法")。
23、中心在原點的橢圓、雙曲線方程(焦點位置不定)可設為 (其中 且 時為橢圓, 時為雙曲線)。
24、圓錐曲線的參數方程:
(1)橢圓 的參數方程為 ( 為參數);
(2)雙曲線 的參數方程為 ( 為參數);
(3)拋物線 的參數方程為 ( 為參數)。
25、若 為橢圓 上任一點, 、 為焦點, 為短軸的一個端點,則 (證明用到橢圓定義、余弦定理)。
26、與直線 平行的直線系方程為 (參數 );
與直線 垂直的直線系方程為 ( 為參數)。
27、共離心率的橢圓系方程為 ( 為參數)。橢圓的離心率 越接近1,橢圓越扁;橢圓的離心率越接近于0,橢圓就接近于圓。可以概括為:橢圓的離心率越大,橢圓越扁。
28、共漸近線的雙曲線系方程為 ( 為參數)。
29、設 是橢圓 上的任意一點(不在長軸上), 、 為左右焦點,則稱 為焦點三角形, , , ,該三角形有如下性質:
(1)離心率: ;
(2)面積: ;
(3)旁切球:左右兩個旁切球的球心都在直線 上;
(4)設其內心為 ,連接pi并延長交長軸于點m,則有: ;
(5)當且僅當點p在短軸端點時, 最大, 也最大。
30、設 是雙曲線 上的任意一點(不在實軸上), 、 為左右焦點, ,則 的面積為 。
31、橢圓 內接三角形,四邊形的面積最大問題
(1)橢圓內接三角形面積的最大值為: (當且僅當三角形的重心為橢圓的中心);
(2)橢圓內接四邊形面積的最大值為: (當且僅當四邊形的對角線為橢圓的一對共軛直徑)
32、設m,n為橢圓 上關于原點中心對稱的兩點,p為橢圓上異于m,n的任意一點,則 。(雙曲線中為: )
33、已知兩點 、 及直線
(1)若點 、 在直線 的同側,則 。
(2)若點 、 在直線 的異側,則 。
34、已知點 、及直線 ,點 關于直線 的對稱點為 ,則有 其中
35、在線性規劃中,
(1)對形如 型的目標函數,可變形為 , 看做直線在 軸上的截距,問題轉化為求縱截距范圍或
(2)對形如 型的目標函數,變形為 的形式,將問題轉化為求可行域內的點 與點 連線斜率的 倍的范圍;
(3)對形如 型的目標函數,可化為 的形式,將問題化歸為求可行域內的點 到直線 距離的 倍的最值。
36、在圓錐曲線中,求形如 ( 是圓錐曲線內的一點, 是圓錐曲線的一個焦點)的最值問題時,可利用圓錐曲線的第二定義將 轉化為圓錐曲線上的點到準線的距離。
有關線段和差關系的計算,可優先考慮圓錐曲線的第一定義。
37、凡是動點到圓上動點之間距離的最值,必過圓心時才能取得,應先求動點到圓心的最值,再加上或減去半徑
不等式教案 篇2
整體設計
教學分析
本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.
通過本節課的學習， 讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.
在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上 點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美.
重點難點
教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.
教學難點：準確比較兩個代數式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學 生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數軸上的任意兩 點與對應的兩實數具有怎樣的關系?
4任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容.
實例1：某天的天氣預報報道，氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發現身 邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，a應用示例
例1(教材本節例1和例2)
活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關鍵首先是把文 字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點評：一般地，設a、b為正實數，且a
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
課堂小結
1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究.
作業
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設計感想
1.本節設計關注了教學方法 的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學 過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.
3.本節設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
不等式教案 篇3
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，鼓勵學生用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、改變學生的數學學習態度。
2.建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點:
1.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。
2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點:
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發式教學。
2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現實問題，激發學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環節
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
日常生活中，同學們發現了哪些數量關系。你能舉出一些例子嗎？
實例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。
實例2.若一個數是非負數，則這個數大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發了學生學習數學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯系了現實生活，又考慮到數學上常見的數量關系，非常好。而且大家已經考慮到本節課的標題《不等關系與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關系。
（下面利用電腦投影展示兩個實例）
實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數量關系來描述
過程引導
能夠發現身邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但是我們還要能用數學的眼光、數學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢？
什么是不等式呢？
用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數學模型的過程通過對不等式數學模型的研究，反過來作用于現實生活，這才是學習數學的最終目的。
思考并回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關系。
經過老師的啟發和點撥，學生可以自己總結出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號≤，≥的含義，是或的關系。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。
此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
（一）。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來，那應該怎么表示呢？
這兩位同學的觀點是否正確？
老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表達。
（二）。問題一：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。
老師提示：借助于圖形，這個問題是不是可以解決？
（下面讓學生板演，結合三角形草圖來表達）
問題（二）：某種雜志原以每本2。5元的價格銷售，可以售出8萬本，據市場調查，若單價每提高0。1元，銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？
是不是還有其他的思路？
為什么可以這樣設？
很好，請繼續講。
這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式？
假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據題意，應當有什么樣的不等量關系呢？
右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？
這位學生回答得很好，思維很嚴密，那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？
通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。
課堂小結：
1.學習數學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數學和我們的生活聯系非常密切。
3.本節課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來解決現實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密，規范，并且要注意數形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業：
第75頁習題3.1 A組4，5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，或者a=b”，等價于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一個正確，則ab正確.3.實數比較大小的依據與方法.
（1）如果ab是正數，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負數，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab
（二）基礎練習
1.用不等式表示下面的不等關系：
（1）a與b的和是非負數；
（2）某公路立交橋對通過車輛的高度h“限高4m”；解：
（1）ab0；
（2）h4.2.有一個兩位數大于50而小于60，其個位數字比十位數字大2.試用
不等式表示上述關系（用a和b分別表示這個兩位數的十位數字和個位數字）.解：由題意知5010ab60,5010ab60,5011a260
ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7
（三）提升訓練
1.比較x23與3x的大小，其中xR.
222233333解：x33xx3x3x3x3x
24422220，x233x.方法總結：兩個實數比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是：
第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將差化積；第三步：定號.最后得出結論.
2.小明帶了20元錢去超市買筆記本和鋼筆.已知筆記本每本2元，鋼筆每枝5元.設他所能買的筆記本和鋼筆的數量分別為x，y，則x，2x5y20,y應滿足關系式xN,
yN.3.一個盒中紅、白、黑三種球分別有x個、y個、z個，黑球個數至少是白球個數的一半，至多是紅球的，白球與黑球的個數之和至少
為55，使用不等式將題中的不等關系表示出來（x,y,zN*）.yxz,解：32
yz55.
（四）課后鞏固
p74練習題：1,2.p75習題3.1 A組：1,2. 4
不等式教案 篇4
教學內容
3.2一元二次不等式及其解法
三維目標
一、知識與技能
1.鞏固一元二次不等式的解法和解法與二次函數的關系、一元二次不等式解法的步驟、解法與二次函數的關系兩者之間的區別與聯系；
2.能熟練地將分式不等式轉化為整式不等式(組)，正確地求出分式不等式的解集；
3.會用列表法,進一步用數軸標根法求解分式及高次不等式；
4.會利用一元二次不等式，對給定的與一元二次不等式有關的問題，嘗試用一元二次不等式解法與二次函數的有關知識解題.
二、過程與方法
1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析得出結論的方法進行啟發式教學；
2.發揮學生的主體作用，作好探究性教學；
3.理論聯系實際，激發學生的學習積極性.
三、情感態度與價值觀
1.進一步提高學生的運算能力和思維能力；
2.培養學生分析問題和解決問題的能力；
3.強化學生應用轉化的數學思想和分類討論的數學思想.
教學重點
1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.
2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現數形結合的思想.
教學難點
1.深入理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系.
教學方法
啟發、探究式教學
教學過程
復習引入
師：上一節課我們通過具體的問題情景，體會到現實世界存在大量的不等量關系，并且研究了用不等式或不等式組來表示實際問題中的不等關系。回顧下等比數列的性質。
生：略
師：某同學要把自己的計算機接入因特網，現有兩種ISP公司可供選擇，公司A每小時收費1.5元（不足1小時按1小時計算），公司B的收費原則是第1小時內（含恰好1小時，下同）收費1.7元，第2小時內收費1.6元以后每小時減少0.1元（若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算）那么，一次上網在多少時間以內能夠保證選擇公司A的上網費用小于等于選擇公司B所需費用。
學生自己討論
點題，板書課題
新課學習
1.一元二次不等式
只有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式。
2.三個“二次”之間的關系及一元二次不等式的解法
師在前面我們已經學習過一元二次不等的解法，發現一元二次方程及對應的二次函數有關系，那么同學們課本打開到p77填表格。
生略
師學生討論歸納出解一元二次不等式的步驟
一看：看二次項系數的正負，并且變形為
二算：，判斷正負，有根則求并畫出對應的函數圖象
三寫：寫出原不等式的解集
練習反饋
［例題剖析］
例1解下列不等式
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
課本80頁練習
例2已知不等式的解集為試解不等式
變式：
已知
課堂
小結
1.三個“二次的關系”
2.解二次不等式的步驟
作業布置
課本第80頁習題3.2A組第1.2.4題B組1
練習調配
設計42頁全做，43頁例1例2隨堂練習2.3,4,5測評1、3、4、5、6、7、8、
不等式教案 篇5
一、教學目標
【知識與技能】
掌握求解一元二次不等式的簡單方法，能正確求解一元二次不等式的解集。
【過程與方法】
在探究一元二次不等式的解法的過程中，提升邏輯推理能力。
【情感、態度與價值觀】
感受數學知識的前后聯系，提升學習數學的熱情。
二、教學重難點
【重點】一元二次不等式的解法。
【難點】一元二次不等式的解法的探究過程。
三、教學過程
(一)導入新課
回顧一元二次不等式的一般形式，組織學生舉例一些簡單的一元二次不等式。
提問：如何求解?引出課題。
(二)講解新知
結合課前回顧的一元二次不等式的一般形式，對比之前所學內容，引導學生發現其與一元二次方程和二次函數的共同特點。
不等式教案 篇6
（一）教學目標
1.知識與技能:使學生感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，在學生了解了一些不等式（組）產生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容。
2.過程與方法:以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關基本性質研究不等關系；
3.情態與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質量。
（二）教學重、難點
重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點：用不等式（組）正確表示出不等關系。
（三）教學設想
[創設問題情境]
問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。
問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？
分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20
問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？
分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..
根據題意，應有如下的不等關系：
（1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；
（2）截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；
（3）解得兩鐘鋼管的數量都不能為負。
由以上不等關系，可得不等式組：
[練習]第82頁，第1、2題。
[知識拓展]
設問：等式性質中：等式兩邊加（減）同一個數（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類似的性質呢？
從實數的基本性質出發，可以證明下列常用的不等式的基本性質：
（1）
（2）
（3）
（4）
證明：
例1講解（第82頁）
[練習]第82頁，第3題。
[思考]：利用以上基本性質，證明不等式的下列性質：
[小結]：1.現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系；
2.利用不等式的有關基本性質研究不等關系；
[作業]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2.
不等式教案 篇7
解一元二次不等式化為標準型。判斷△的符號。若△＜0，則不等式是在R上恒成立或恒不成立。
若△＞0，則求出兩根，在數軸上標出，每個根上畫一條豎線，再從右到左相間標正負號，不等式大于0則取標正的范圍，小于0則取標負的范圍。
2.解簡單一元高次不等式
a.化為標準型。
b.將不等式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根，在數軸上標出，每個根上畫一條豎線，再從右到左相間標正負號，不等式大于0則取標正的范圍，小于0則取標負的范圍。
3.解分式不等式的解
a.化為標準型。
b.可將分式化為整式，將整式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根，在數軸上標出，每個根上畫一條豎線，再從右到左相間標正負號，不等式大于0則取標正的范圍，小于0則取標負的范圍。（如果不等式是非嚴格不等式，則要注意分式分母不等于0。）
4.解含參數的一元二次不等式
a.對二次項系數a的討論。
若二次項系數a中含有參數，則須對a的符號進行分類討論。分為a＞0，a=0，a＜0。
b.對判別式△的討論
若判別式△中含有參數，則須對△的符號進行分類討論。分為△＞0，△=0，△＜0。
c.對根大小的討論
若不等式對應的方程的根x1、x2中含有參數，則須對x1、x2的大小進行分類討論。分為x1＞x2，x1=x2，x1＜x2。
5.一元二次方程的根的分布問題
a.將方程化為標準型。（a的符號）
b.畫圖觀察，若有區間端點對應的函數值小于0，則只須討論區間端點的函數值。
若沒有區間端點對應的函數值小于0，則須討論區間端點的函數值、△、軸。
6.一元二次不等式的應用
⑴在R上恒成立問題（恒不成立問題相反，在某區間恒成立可轉化為實根分布問題）
a.對二次項系數a的符號進行討論，分為a=0與a≠0。
b.a=0時，把a=0帶入，檢驗不等式是否成立，判斷a=0是否屬于不等式解集。
a≠0時，則轉化為二次函數圖像全在x軸上方或下方。
若f(x)＞0，則要求a＞0，△＜0。
若f(x)＜0，則要求a＜0，△＜0。
⑵特殊題型：已知一不等式的解集（含有字母），求另一不等式的解集（與原不等式系數大小相同，位置不同）。a.寫出原不等式對應的方程，由韋達定理得出解集字母與方程系數間的關系。
b.寫出變換后不等式對應的方程，由由韋達定理得出解集字母與方程系數間的關系。
c.將a中得到的關系變化后帶入b的關系中，得到變換后方程的兩根。
d.判斷兩根的大小，變換后不等式二次項的系數，從而寫出所求解集。
不等式教案 篇8
教學分析
本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.
通過本節課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.
在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美.
重點難點
教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.
教學難點：準確比較兩個代數式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數軸上的任意兩點與對應的兩實數具有怎樣的關系?
4任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容.
實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發現身邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，a0a>b;a-b=0a=b;a-bg(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點評：一般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結
1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究.
作業
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設計感想
1.本節設計關注了教學方法的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.
3.本節設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當a>b>0時，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當b>a>0時，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數a、b，都有aabb>abba.