線性規劃（通用16篇）
線性規劃 篇1
【考試要求】
1.了解二元一次不等式（組）表示的平面區域；了解與線性規劃相關的基本概念
2. 了解線性規劃問題的圖象法，并能用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題。
【教學重點】
1. 二元一次不等式（組）表示的平面區域；
2.應用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題。
【教學難點】
線性規劃在實際問題的應用
【高考展望】
1. 線性規劃是教材的新增內容，高考中對這方面的知識涉及的還比較少，但今后將會成為新高考的熱點之一；
2. 在高考中一般不會單獨出現，往往都是隱含在其他數學內容的問題之中，就是說常結合其他數學內容考查，往往都是容易題
【知識整合】
1. 二元一次不等式（組）表示平面區域：一般地，二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側所有點組成的__________。我們把直線畫成虛線以表示區域_________邊界直線。當我們在坐標系中畫不等式 所表示的平面區域時,此區域應___________邊界直線，則把邊界直線畫成____________.
2. 由于對在直線 同一側的所有點，把它的坐標 代入 ，所得到實數的符號都__________，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點 ，從 的_________即可判斷 >0表示直線哪一側的平面區域
3. 二元一次不等式組是一組對變量x,y的__________，這組約束條件都是關于x,y的一次不等式，所以又稱為_____________;
4. (a,b是實常數)是欲達到最大值或_________所涉及的變量x,y的解析式，叫做______________。由于 又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;
5. 求線性目標函數在_______下的最大值或____________的問題，統稱為_________問題。滿足線性約束條件的解 叫做_________，由所有可行解組成的集合叫做_________。分別使目標函數 取得____________和最小值的可行解叫做這個問題的___________.
【典型例題】
例1.（課本題）畫出下列不等式（組）表示的平面區域，
1） 2） 3）
4） 5） 6）
例2.
1）畫出 表示的區域，并求所有的正整數解
2）畫出以a（3，-1）、b（-1，1）、c（1，3）為頂點的 的區域（包括各邊），寫出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數 的最大值和最小值。
例3.1）已知 ，求 的取值范圍
2）已知函數 ，滿足 求 的取值范圍
例4（04蘇 19）制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資打算多少萬元，才能使可能的盈利最大？
例5.某人承攬一項業務，需做文字標牌4個，繪畫標牌6個，現有兩種規格原料，甲種規格每張3m ，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個；乙種規格每張2 m ，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個,求兩種規格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小？
例6.某人上午時乘摩托艇以勻速v海里/小時 從a港出發到相距50海里的b港駛去，然后乘汽車以勻速w千米/小時 自b港向相距300km的c市駛去，應該在同一天下午4點到9點到達c市。設汽車、摩托艇所需時間分別為 小時，如果已知所要經費p= （元），那么v、w分別是多少時走得最經濟？此時需花費多少元？
鞏固練習
1.將目標函數 看作直線方程,z為參數時，z的意義是（ ）
a.該直線的縱截距 b。該直線縱截距的3倍
c.該直線的橫截距的相反數 d。該直線縱截距的
2。變量 滿足條件 則使 的值最小的 是（ ）
a.（ b。（3，6） c。（9，2） d。（6，4）
3。設 式中變量 和 滿足條件 則 的最小值為 （ ）
a.1 b。-1 c。3 d。-3
4。（05浙7）設集合a={ 是三角形的三邊長}，則a所表示的平面區域（不含邊界的陰影部分）是（ ）
5。在坐標平面上，不等式組 所表示的平面區域的面積為（ ）
a。 b。 c。 d。2
6.(06全國ⅰ14)設 ，式中變量 和 滿足下列條件 則 的最大值為__________________;
7.（06京13）已知點p（ 的坐標滿足條件 點o為坐標原點，那么 的 最小值為_________，最大值等于__________________;
8.(06湘12) 已知 則 的最小值是____________________.
線性規劃 篇2
教學目標
（1）使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；
（2）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（3）了解線性規化問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（4）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（5）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
教學建議
一、知識結構
教科書首先通過一個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區域.再通過一個具體實例，介紹了線性規化問題及有關的幾個基本概念及一種基本解法－圖解法，并利用幾道例題說明線性規化在實際中的應用.
二、重點、難點分析
本小節的重點是二元一次不等式（組）表示平面的區域.
對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是一個比較陌生、抽象的概念，按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，因此學習二元一次不等式（組）表示平面的區域分為兩個大的層次：
（1）二元一次不等式表示平面區域.首先通過建立新舊知識的聯系，自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域不包含邊界直線（畫成虛線）.其次再擴大到所表示的平面區域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線.
（2）二元一次不等式組表示平面區域.在理解二元一次不等式表示平面區域含義的基礎上，畫不等式組所表示的平面區域，找出各個不等式所表示的平面區域的公共部分.這是學生對代數問題等價轉化為幾何問題以及數學建模方法解決實際問題的基礎.
難點是把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答.
對許多學生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學生解數學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數學問題，即不會建模.所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數，然后利用圖解法求出最優解作為突破這個難點的關鍵.
對學生而言解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關系；②不能分清問題的主次關系，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯想，形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設計為計算機輔助教學，從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前，以利于理解；分析完題后，能夠抓住問題的本質特征，從而將實際問題抽象概括為線性規劃問題.另外，利用計算機可以較快地幫助學生掌握尋找整點最優解的方法.
三、教法建議
（1）對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是一個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學生對這一概念的引進不感到突然，應建立新舊知識的聯系，以便自然地給出概念
（2）建議將本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論.
（3）要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式（組）表示的平面區域的含義是十分必要的.
（4）建議通過本節教學著重培養學生掌握“數形結合”的數學思想，盡管側重于用“數”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數”，這對培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力是大有益處的.
（5）對作業 、思考題、研究性題的建議：①作業 主要訓練學生規范的解題步驟和作圖能力；②思考題主要供學有余力的學生課后完成；③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學生的思維.
（6）若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用圖解法得到的解為非整數解（近似解），應作適當的調整，其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也可.
（7）在線性規劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小.
線性規劃教學設計方案（一）
教學目標
使學生了解并會作二元一次不等式和不等式組表示的區域.
重點難點
了解二元一次不等式表示平面區域.
教學過程
【引入新課】
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集，那么在平面坐標系中，二元一次不等式的解集的意義是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面區域】
1.先分析一個具體的例子
我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程 的解為坐標的點的集合 是經過點（0，1）和（1，0）的一條直線l（如圖）那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數，且未知數的最高次數都是1的不等式） 的解為坐標的點的集合 是什么圖形呢？
在平面直角坐標系中，所有點被直線l分三類：①在l上；②在l的右上方的平面區域；③在l的左下方的平面區域（如圖）取集合A的點（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我們發現這些點都在l的右上方的平面區域，而點（0，0）、（－1，－1）等等不屬于A，它們滿足不等式 ，這些點卻在l的左下方的平面區域.
由此我們猜想，對直線l右上方的任意點 成立；對直線l左下方的任意點 成立，下面我們證明這個事實.
在直線 上任取一點 ，過點P作垂直于y軸的直線 ，在此直線上點P右側的任意一點 ，都有 ∴
于是
所以
因為點 ，是L上的任意點，所以，對于直線 右上方的任意點 ，
都成立
同理，對于直線 左下方的任意點 ，
都成立
所以，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集點.
是直線 右上方的平面區域（如圖）
類似地，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集合 是直線 左下方的平面區域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
（1）結論：二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側所有點組成的平面區域.
把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式 就表示的面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.
（2）判斷方法：由于對在直線 同一側的所有點 ，把它的坐標 代入 ，所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取一個特殊點 ，以 的正負情況便可判斷 表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當 時，常把原點作為此特殊點.
【應用舉例】
例1 畫出不等式 表示的平面區域
解；先畫直線 （畫線虛線）取原點（0，0），代入 ，
∴ ∴ 原點在不等式 表示的平面區域內，不等式 表示的平面區域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區域
分析：在不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
解：不等式 表示直線 上及右上方的平面區域， 表示直線 上及右上方的平面區域， 上及左上方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分.
課堂練習
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域.
（1） （2） （3）
（4） （5）
總結提煉
1.二元一次不等式表示的平面區域.
2.二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區域.
布置作業
1.不等式 表示的區域在 的（ ）.
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
2.不等式 表示的平面區域是（ ）.
3.不等式組 表示的平面區域是（ ）.
4.直線 右上方的平面區域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區域內的整點坐標是 .
6.畫出 表示的區域.
答案：
1.B 2.D 3.B 4. 5.（－1，－1）
6.
線性規劃 篇3
關于簡單的線性規劃問題一課的教學反思
澄邁中學 高一數學
一 教學內容分析：
本節內容在教材中有著重要的地位與作用，線性規劃是利用數學為工具來研究一定的人、財、物、時、空等資源在一定的條件下，如何精打細算巧安排，用最少的資源，取得的經濟效益，這一部分內容體現了數學的工具性、應用性，同時滲透了化歸，數形結合的數學思維和解決實際問題的一種重要的解題方法——數學建模法。
二 學生學習情況分析：
把實際問題轉化為線性規劃問題，并結合出解答是本節的重點和難點，對許多學生來說，解數學應用題的最常見的困難是不會持實際問題轉化或數學問題，即不會建模，對學生而言，解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意思，弄清各元素之間的關系；②不能弄清問題的主次關系，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立考慮單個問題情境，不能多聯想。
三 設計思想：
注意學生的探究過程，讓學生體驗探究問題的成就感，一切以學生的探究活動為主，以問題是驅動，激發學生學習樂趣。
四 教學目標：
1、使學生了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、可行域、可行解、解等基本概念；了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題。
2、通過本節內容的學習，培養學生觀察、聯想以及作圖的能力等。滲透集合，化歸，數形結合的數學思想，提問“建模”和解決實際問題的能力。
五 教學重點和難點：
教學重點:求線性目標函數的最值問題，培養學生“用數學”的意識，即線性規劃在實際生活中的應用。
教學難點：把實際問題轉化為線性規劃問題，并結合出解答。
六 教學過程：
（一）問題引入
某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一會一件甲產品使用4個A配件耗時1個小時，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2小時，該廠每天最多可以配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8小時計算，該廠所有可能的月生產安排是什么?由學生列出不等關系，并畫出平面區域，由此引入新課。
（二）問題深入，推進新課
①引領學生自主探索引入問題中的實際問題，怎樣安排才有意義？
②若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤？
設計意圖：
由實際問題出發激發學生學習興趣，在探究過程中，看似簡單的問題，學生容易抓不住問題的主干，需要適時的引導。
（三）揭示本質 深化認識
提出問題：
① 上述探索的問題中，Z的幾何意義是什么？結合圖形說明
②結合以上探究，理解什么是目標函數？線性目標函數？什么是線性規劃？弄清什么是可行域解?可行域？解？
③你能根據以上探究總結出解決線性規劃問題的一般步驟嗎？
(四）應用示例
線性規劃 篇4
線性規劃教學設計方案（二）
教學目標
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域，能用此來求目標函數的最值.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點.
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點.
教學步驟
【新課引入】
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區域，在這里開始，教學又翻開了新的一頁，在今后的學習中，我們可以逐步看到它的運用.
【線性規劃】
先討論下面的問題
設 ，式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的最大值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區域，如圖中 內部且包括邊界.點（0，0）不在這個三角形區域內，當 時， ，點（0，0）在直線 上.
作一組和 平等的直線
可知，當l在 的右上方時，直線l上的點 滿足 .
即 ，而且l往右平移時，t隨之增大，在經過不等式組①表示的三角形區域內的點且平行于l的直線中，以經過點A（5，2）的直線l，所對應的t最大，以經過點 的直線 ，所對應的t最小，所以
在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件.
是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數，由于 又是x、y的解析式，所以又叫線性目標函數，上述問題就是求線性目標函數 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示.
一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題，滿足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解.
【應用舉例】
例1 解下列線性規劃問題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件
解：先作出可行域，見圖中 表示的區域，且求得 .
作出直線 ，再將直線 平移，當 的平行線 過B點時，可使 達到最小值，當 的平行線 過C點時，可使 達到最大值.
通過這個例子講清楚線性規劃的步驟，即：
第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；
第二步：在可行域內找出最優解所對應的點；
第三步：解方程的最優解，從而求出目標函數的最大值或最小值.
例2 解線性規劃問題：求 的最大值，使式中的x、y滿足約束條件.
解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區域.
作出直線 將它平移至點B，顯然，點B的坐標是可行域中的最優解，它使 達到最大值，解方程組 得點B的坐標為（9，2）.
∴
這個例題可在教師的指導下，由學生解出.在此例中，若目標函數設為 ，約束條件不變，則z的最大值在點C（3，6）處取得.事實上，可行域內最優解對應的點在何處，與目標函數 所確定的直線 的斜率 有關.就這個例子而言，當 的斜率為負數時，即 時，若 （直線 的斜率）時，線段BC上所有點都是使z取得最大值（如本例）；當 時，點C處使z取得最大值（比如： 時），若 ，可請同學思考.
隨堂練習
1.求 的最小值，使式中的 滿足約束條件
2.求 的最大值，使式中 滿足約束條件
答案：1. 時， .
2. 時， .
總結提煉
1.線性規劃的概念.
2.線性規劃的問題解法.
布置作業
1.求 的最大值，使式中的 滿足條件
2.求 的最小值，使 滿足下列條件
答案：1.
2.在可行域內整點中，點（5，2）使z最小，
探究活動
利潤的線性規劃［問題］某企業1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預2001年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬？
［分析］首先應考慮在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點坐標后，如何運用這三點坐標，是僅用其中的兩點，還是三點信息的綜合運用，運用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點的直線、平行某個線段的直線、與某些點距離最小的直線作為預測直線等等.
建立平面直角坐標系，設1997年的利潤為5萬元對應的點為 （0，5），1998年的利潤為 7萬元及1999年的利潤為 8萬元分別對應點 （1，7）和 （2，8），那么
①若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為13萬元.
②若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11萬元.
③若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10萬元.
④若將過 及線段 的中點 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.
⑤若將過 及 的重心 （注： 為3年的年平均利潤）的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.
⑥若將過 及 的重心 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10.667萬元.
⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為9萬元.
⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.5萬元.
⑨若將過點 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預測直線，則預測直線 的方程為； ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.
⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.
如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉.
［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結果完全一致，這是為什么？
（2）第⑦種方案中， 的現實意義是什么？
（3）根據以上的基本解題思路，請你思考新的方案.如方案⑥中，過 的重心 ，找出以 為斜率的直線中與 兩點的距離的平方和最小的直線作為預測直線.
（4）根據以上結論及你自己的答案估計一下利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更為有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？
線性規劃 篇5
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1.物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2.產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3.下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
A.教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點M（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B.討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
C.改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
M（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用.已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸， 軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示.作A關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點P.由平面幾何知識得，點P即為所求.據已知條件，A（0，300）， （0，－300）.過B作 軸于點 ，過A作 ，于點H.
由 ， ，得B（300，700）.于是直線 的方程為
即
所以P點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點90 m的地方
研究性課題與實習作業 ：線性規劃的實際應用
線性規劃 篇6
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點 。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點 。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
數學教案－研究性課題與實習作業 ：線性規劃的實際應用
線性規劃 篇7
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點 。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點 。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1.物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2.產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3.下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
A.教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點M（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B.討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
C.改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內點M（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
故生產書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。
總結、擴展
1.線性規劃問題的數字模型。
2.線性規劃在兩類問題中的應用
布置作業
到附近的工廠、鄉鎮企業、商店、學校等作調查研究，了解線性規劃在實際中的應用，或提出能用線性規劃的知識提高生產效率的實際問題，并作出解答。把實習和研究活動的成果寫成實習報告、研究報告或小論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用.已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸， 軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示.作A關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點P.由平面幾何知識得，點P即為所求.據已知條件，A（0，300）， （0，－300）.過B作 軸于點 ，過A作 ，于點H.
由 ， ，得B（300，700）.于是直線 的方程為
即
所以P點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點90 m的地方
研究性課題與實習作業 ：線性規劃的實際應用
線性規劃 篇8
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點 。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點 。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1.物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2.產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3.下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
A.教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點M（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B.討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
C.改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
M（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用.已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸， 軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示.作A關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點P.由平面幾何知識得，點P即為所求.據已知條件，A（0，300）， （0，－300）.過B作 軸于點 ，過A作 ，于點H.
由 ， ，得B（300，700）.于是直線 的方程為
即
所以P點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點90 m的地方
研究性課題與實習作業 ：線性規劃的實際應用
線性規劃 篇9
教學目標
(1)使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域;
(2)了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念;
(3)了解線性規化問題的圖解法,并能應用它解決一些簡單的實際問題;
(4)培養學生觀察、聯想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數形結合的數學思想,提高學生“建模”和解決實際問題的能力;
(5)結合教學內容,培養學生學習數學的愛好和“用數學”的意識,激勵學生勇于創新.
教學建議
一、知識結構
教科書首先通過一個具體問題,介紹了二元一次不等式表示平面區域.再通過一個具體實例,介紹了線性規化問題及有關的幾個基本概念及一種基本解法-圖解法,并利用幾道例題說明線性規化在實際中的應用.
二、重點、難點分析
本小節的重點是二元一次不等式(組)表示平面的區域.
對學生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區域是一個比較生疏、抽象的概念,按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解,因此學習二元一次不等式(組)表示平面的區域分為兩個大的層次:
(1)二元一次不等式表示平面區域.首先通過建立新舊知識的聯系,自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴大到所表示的平面區域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線.
(2)二元一次不等式組表示平面區域.在理解二元一次不等式表示平面區域含義的基礎上,畫不等式組所表示的平面區域,找出各個不等式所表示的平面區域的公共部分.這是學生對代數問題等價轉化為幾何問題以及數學建模方法解決實際問題的基礎.
難點是把實際問題轉化為線性規劃問題,并給出解答.
對許多學生來說,從抽象到的化歸并不比從具體到抽象碰到的問題少,學生解數學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數學問題,即不會建模.所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點,并緊緊圍繞如何引導學生根據實際問題中的已知條件,找出約束條件和目標函數,然后利用圖解法求出最優解作為突破這個難點的關鍵.
對學生而言解決應用問題的障礙主要有三類:①不能正確理解題意,弄清各元素之間的關系;②不能分清問題的主次關系,因而抓不住問題的本質,無法建立數學模型;③孤立地考慮單個的問題情景,不能多方聯想,形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素,將本課設計為計算機輔助教學,從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前,以利于理解;分析完題后,能夠抓住問題的本質特征,從而將實際問題抽象概括為線性規劃問題.另外,利用計算機可以較快地幫助學生把握尋找整點最優解的方法.
三、教法建議
(1)對學生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區域是一個比較生疏的概念,不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知,為使學生對這一概念的引進不感到忽然,應建立新舊知識的聯系,以便自然地給出概念
(2)建議將本節新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證實、歸納)來進行,目的是為了分散難點,層層遞進,突出重點,只要學生對舊知識把握較好,完全有可能由學生主動去探求新知,得出結論.
(3)要舉幾個典型例題,非凡是似是而非的例子,對理解二元一次不等式(組)表示的平面區域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節教學著重培養學生把握“數形結合”的數學思想,盡管側重于用“數”研究“形”,但同時也用“形”去研究“數”,這對培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力是大有益處的.
(5)對作業、思考題、研究性題的建議:①作業主要練習學生規范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學有余力的學生課后完成;③研究性題綜合性較大,主要用于拓寬學生的思維.
(6)若實際問題要求的最優解是整數解,而我們利用圖解法得到的解為非整數解(近似解),應作適當的調整,其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據,在直線的四周尋求與此直線距離最近的整點,不要在用圖解法所得到的近似解四周尋找.
假如可行域中的整點數目很少,采用逐個試驗法也可.
(7)在線性規劃的實際問題中,主要把握兩種類型:一是給定一定數量的人力、物力資源,問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大,收到的效益最大;二是給定一項任務問怎樣統籌安排,能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小.
線性規劃教學設計方案(一)
教學目標
使學生了解并會作二元一次不等式和不等式組表示的區域.
重點難點
了解二元一次不等式表示平面區域.
教學過程
引入新課
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集,那么在平面坐標系中,二元一次不等式的解集的意義是什么呢?
二元一次不等式表示的平面區域
1.先分析一個具體的例子
我們知道,在平面直角坐標系中,以二元一次方程 的解為坐標的點的集合 是經過點(0,1)和(1,0)的一條直線l(如圖)那么,以二元一次不等式(即含有兩個未知數,且未知數的最高次數都是1的不等式) 的解為坐標的點的集合 是什么圖形呢?
在平面直角坐標系中,所有點被直線l分三類:①在l上;②在l的右上方的平面區域;③在l的左下方的平面區域(如圖)取集合a的點(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我們發現這些點都在l的右上方的平面區域,而點(0,0)、(-1,-1)等等不屬于a,它們滿足不等式 ,這些點卻在l的左下方的平面區域.
由此我們猜想,對直線l右上方的任意點 成立;對直線l左下方的任意點 成立,下面我們證實這個事實.
在直線 上任取一點 ,過點p作垂直于y軸的直線 ,在此直線上點p右側的任意一點 ,都有 ∴
于是
所以
因為點 ,是l上的任意點,所以,對于直線 右上方的任意點 ,
都成立
同理,對于直線 左下方的任意點 ,
都成立
所以,在平面直角坐標系中,以二元一次不等式 的解為坐標的點的集點.
是直線 右上方的平面區域(如圖)
類似地,在平面直角坐標系中,以二元一次不等式 的解為坐標的點的集合 是直線 左下方的平面區域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
(1)結論:二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側所有點組成的平面區域.
把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線,若畫不等式 就表示的面區域時,此區域包括邊界直線,則把邊界直線畫成實線.
(2)判定方法:由于對在直線 同一側的所有點 ,把它的坐標 代入 ,所得的實數的符號都相同,故只需在這條直線的某一側取一個非凡點 ,以 的正負情況便可判定 表示這一直線哪一側的平面區域,非凡地,當 時,常把原點作為此非凡點.
應用舉例
例1 畫出不等式 表示的平面區域
解;先畫直線 (畫線虛線)取原點(0,0),代入 ,
∴ ∴ 原點在不等式 表示的平面區域內,不等式 表示的平面區域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區域
分析:在不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集,因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
解:不等式 表示直線 上及右上方的平面區域, 表示直線 上及右上方的平面區域, 上及左上方的平面區域,所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分.
課堂練習
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域.
(1) (2) (3)
(4) (5)
總結提煉
1.二元一次不等式表示的平面區域.
2.二元一次不等式表示哪個平面區域的判定方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區域.
布置作業
1.不等式 表示的區域在 的( ).
a.右上方 b.右下方 c.左上方 d.左下方
2.不等式 表示的平面區域是( ).
3.不等式組 表示的平面區域是( ).
4.直線 右上方的平面區域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區域內的整點坐標是 .
6.畫出 表示的區域.
答案:
1.b 2.d 3.b 4. 5.(-1,-1)
線性規劃 篇10
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1.物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2.產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3.下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
A.教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點M（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B.討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
C.改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
M（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用.已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸， 軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示.作A關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點P.由平面幾何知識得，點P即為所求.據已知條件，A（0，300）， （0，－300）.過B作 軸于點 ，過A作 ，于點H.
由 ， ，得B（300，700）.于是直線 的方程為
即
所以P點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點90 m的地方
研究性課題與實習作業 ：線性規劃的實際應用
線性規劃 篇11
線性規劃教學設計方案（二）
教學目標
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域，能用此來求目標函數的最值.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點.
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點 .
教學步驟
【新課引入】
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區域，在這里開始，教學又翻開了新的一頁，在今后的學習中，我們可以逐步看到它的運用.
【線性規劃】
先討論下面的問題
設 ，式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的最大值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區域，如圖中 內部且包括邊界.點（0，0）不在這個三角形區域內，當 時， ，點（0，0）在直線 上.
作一組和 平等的直線
可知，當l在 的右上方時，直線l上的點 滿足 .
即 ，而且l往右平移時，t隨之增大，在經過不等式組①表示的三角形區域內的點且平行于l的直線中，以經過點A（5，2）的直線l，所對應的t最大，以經過點 的直線 ，所對應的t最小，所以
在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件.
是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數，由于 又是x、y的解析式，所以又叫線性目標函數，上述問題就是求線性目標函數 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示.
一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題，滿足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解.
【應用舉例】
例1 解下列線性規劃問題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件
解：先作出可行域，見圖中 表示的區域，且求得 .
作出直線 ，再將直線 平移，當 的平行線 過B點時，可使 達到最小值，當 的平行線 過C點時，可使 達到最大值.
通過這個例子講清楚線性規劃的步驟，即：
第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；
第二步：在可行域內找出最優解所對應的點；
第三步：解方程的最優解，從而求出目標函數的最大值或最小值.
例2 解線性規劃問題：求 的最大值，使式中的x、y滿足約束條件.
解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區域.
作出直線 將它平移至點B，顯然，點B的坐標是可行域中的最優解，它使 達到最大值，解方程組 得點B的坐標為（9，2）.
∴
這個例題可在教師的指導下，由學生解出.在此例中，若目標函數設為 ，約束條件不變，則z的最大值在點C（3，6）處取得.事實上，可行域內最優解對應的點在何處，與目標函數 所確定的直線 的斜率 有關.就這個例子而言，當 的斜率為負數時，即 時，若 （直線 的斜率）時，線段BC上所有點都是使z取得最大值（如本例）；當 時，點C處使z取得最大值（比如： 時），若 ，可請同學思考.
隨堂練習
1.求 的最小值，使式中的 滿足約束條件
2.求 的最大值，使式中 滿足約束條件
答案：1. 時， .
2. 時， .
總結提煉
1.線性規劃的概念.
2.線性規劃的問題解法.
布置作業
1.求 的最大值，使式中的 滿足條件
2.求 的最小值，使 滿足下列條件
答案：1.
2.在可行域內整點中，點（5，2）使z最小，
探究活動
利潤的線性規劃 ［問題］某企業1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預2001年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬？
［分析］首先應考慮在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點坐標后，如何運用這三點坐標，是僅用其中的兩點，還是三點信息的綜合運用，運用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點的直線、平行某個線段的直線、與某些點距離最小的直線作為預測直線等等.
建立平面直角坐標系，設1997年的利潤為5萬元對應的點為 （0，5），1998年的利潤為 7萬元及1999年的利潤為 8萬元分別對應點 （1，7）和 （2，8），那么
①若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為13萬元.
②若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11萬元.
③若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10萬元.
④若將過 及線段 的中點 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.
⑤若將過 及 的重心 （注： 為3年的年平均利潤）的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.
⑥若將過 及 的重心 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10.667萬元.
⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為9萬元.
⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.5萬元.
⑨若將過點 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預測直線，則預測直線 的方程為； ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.
⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.
如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉.
［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結果完全一致，這是為什么？
（2）第⑦種方案中， 的現實意義是什么？
（3）根據以上的基本解題思路，請你思考新的方案.如方案⑥中，過 的重心 ，找出以 為斜率的直線中與 兩點的距離的平方和最小的直線作為預測直線.
（4）根據以上結論及你自己的答案估計一下利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更為有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？
線性規劃 篇12
教學目標
（1）使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；
（2）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（3）了解線性規化問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（4）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（5）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
教學建議
一、知識結構
教科書首先通過一個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區域.再通過一個具體實例，介紹了線性規化問題及有關的幾個基本概念及一種基本解法－圖解法，并利用幾道例題說明線性規化在實際中的應用.
二、重點、難點分析
本小節的重點是二元一次不等式（組）表示平面的區域.
對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是一個比較陌生、抽象的概念，按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，因此學習二元一次不等式（組）表示平面的區域分為兩個大的層次：
（1）二元一次不等式表示平面區域.首先通過建立新舊知識的聯系，自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域不包含邊界直線（畫成虛線）.其次再擴大到所表示的平面區域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線.
（2）二元一次不等式組表示平面區域.在理解二元一次不等式表示平面區域含義的基礎上，畫不等式組所表示的平面區域，找出各個不等式所表示的平面區域的公共部分.這是學生對代數問題等價轉化為幾何問題以及數學建模方法解決實際問題的基礎.
難點是把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答.
對許多學生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學生解數學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數學問題，即不會建模.所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數，然后利用圖解法求出最優解作為突破這個難點的關鍵.
對學生而言解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關系；②不能分清問題的主次關系，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯想，形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設計為計算機輔助教學，從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前，以利于理解；分析完題后，能夠抓住問題的本質特征，從而將實際問題抽象概括為線性規劃問題.另外，利用計算機可以較快地幫助學生掌握尋找整點最優解的方法.
三、教法建議
（1）對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是一個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學生對這一概念的引進不感到突然，應建立新舊知識的聯系，以便自然地給出概念
（2）建議將本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論.
（3）要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式（組）表示的平面區域的含義是十分必要的.
（4）建議通過本節教學著重培養學生掌握“數形結合”的數學思想，盡管側重于用“數”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數”，這對培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力是大有益處的.
（5）對作業 、思考題、研究性題的建議：①作業 主要訓練學生規范的解題步驟和作圖能力；②思考題主要供學有余力的學生課后完成；③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學生的思維.
（6）若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用圖解法得到的解為非整數解（近似解），應作適當的調整，其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也可.
（7）在線性規劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小.
線性規劃教學設計方案（一）
教學目標
使學生了解并會作二元一次不等式和不等式組表示的區域.
重點難點
了解二元一次不等式表示平面區域.
教學過程
【引入新課】
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集，那么在平面坐標系中，二元一次不等式的解集的意義是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面區域】
1.先分析一個具體的例子
我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程 的解為坐標的點的集合 是經過點（0，1）和（1，0）的一條直線l（如圖）那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數，且未知數的最高次數都是1的不等式） 的解為坐標的點的集合 是什么圖形呢？
在平面直角坐標系中，所有點被直線l分三類：①在l上；②在l的右上方的平面區域；③在l的左下方的平面區域（如圖）取集合A的點（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我們發現這些點都在l的右上方的平面區域，而點（0，0）、（－1，－1）等等不屬于A，它們滿足不等式 ，這些點卻在l的左下方的平面區域.
由此我們猜想，對直線l右上方的任意點 成立；對直線l左下方的任意點 成立，下面我們證明這個事實.
在直線 上任取一點 ，過點P作垂直于y軸的直線 ，在此直線上點P右側的任意一點 ，都有 ∴
于是
所以
因為點 ，是L上的任意點，所以，對于直線 右上方的任意點 ，
都成立
同理，對于直線 左下方的任意點 ，
都成立
所以，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集點.
是直線 右上方的平面區域（如圖）
類似地，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集合 是直線 左下方的平面區域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
（1）結論：二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側所有點組成的平面區域.
把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式 就表示的面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.
（2）判斷方法：由于對在直線 同一側的所有點 ，把它的坐標 代入 ，所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取一個特殊點 ，以 的正負情況便可判斷 表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當 時，常把原點作為此特殊點.
【應用舉例】
例1 畫出不等式 表示的平面區域
解；先畫直線 （畫線虛線）取原點（0，0），代入 ，
∴ ∴ 原點在不等式 表示的平面區域內，不等式 表示的平面區域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區域
分析：在不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
解：不等式 表示直線 上及右上方的平面區域， 表示直線 上及右上方的平面區域， 上及左上方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分.
課堂練習
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域.
（1） （2） （3）
（4） （5）
總結提煉
1.二元一次不等式表示的平面區域.
2.二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區域.
布置作業
1.不等式 表示的區域在 的（ ）.
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
2.不等式 表示的平面區域是（ ）.
3.不等式組 表示的平面區域是（ ）.
4.直線 右上方的平面區域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區域內的整點坐標是 .
6.畫出 表示的區域.
答案：
1.B 2.D 3.B 4. 5.（－1，－1）
6.
線性規劃 篇13
教學目標
（1）使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；
（2）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（3）了解線性規化問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（4）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（5）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
教學建議
一、知識結構
教科書首先通過一個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區域.再通過一個具體實例，介紹了線性規化問題及有關的幾個基本概念及一種基本解法－圖解法，并利用幾道例題說明線性規化在實際中的應用.
二、重點、難點分析
本小節的重點是二元一次不等式（組）表示平面的區域.
對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是一個比較陌生、抽象的概念，按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，因此學習二元一次不等式（組）表示平面的區域分為兩個大的層次：
（1）二元一次不等式表示平面區域.首先通過建立新舊知識的聯系，自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域不包含邊界直線（畫成虛線）.其次再擴大到所表示的平面區域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線.
（2）二元一次不等式組表示平面區域.在理解二元一次不等式表示平面區域含義的基礎上，畫不等式組所表示的平面區域，找出各個不等式所表示的平面區域的公共部分.這是學生對代數問題等價轉化為幾何問題以及數學建模方法解決實際問題的基礎.
難點是把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答.
對許多學生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學生解數學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數學問題，即不會建模.所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數，然后利用圖解法求出最優解作為突破這個難點的關鍵.
對學生而言解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關系；②不能分清問題的主次關系，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯想，形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設計為計算機輔助教學，從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前，以利于理解；分析完題后，能夠抓住問題的本質特征，從而將實際問題抽象概括為線性規劃問題.另外，利用計算機可以較快地幫助學生掌握尋找整點最優解的方法.
三、教法建議
（1）對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區域是一個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學生對這一概念的引進不感到突然，應建立新舊知識的聯系，以便自然地給出概念
（2）建議將本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論.
（3）要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式（組）表示的平面區域的含義是十分必要的.
（4）建議通過本節教學著重培養學生掌握“數形結合”的數學思想，盡管側重于用“數”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數”，這對培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力是大有益處的.
（5）對作業 、思考題、研究性題的建議：①作業 主要訓練學生規范的解題步驟和作圖能力；②思考題主要供學有余力的學生課后完成；③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學生的思維.
（6）若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用圖解法得到的解為非整數解（近似解），應作適當的調整，其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也可.
（7）在線性規劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小.
線性規劃教學設計方案（一）
教學目標
使學生了解并會作二元一次不等式和不等式組表示的區域.
重點難點
了解二元一次不等式表示平面區域.
教學過程
【引入新課】
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集，那么在平面坐標系中，二元一次不等式的解集的意義是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面區域】
1.先分析一個具體的例子
我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程 的解為坐標的點的集合 是經過點（0，1）和（1，0）的一條直線l（如圖）那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數，且未知數的最高次數都是1的不等式） 的解為坐標的點的集合 是什么圖形呢？
在平面直角坐標系中，所有點被直線l分三類：①在l上；②在l的右上方的平面區域；③在l的左下方的平面區域（如圖）取集合A的點（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我們發現這些點都在l的右上方的平面區域，而點（0，0）、（－1，－1）等等不屬于A，它們滿足不等式 ，這些點卻在l的左下方的平面區域.
由此我們猜想，對直線l右上方的任意點 成立；對直線l左下方的任意點 成立，下面我們證明這個事實.
在直線 上任取一點 ，過點P作垂直于y軸的直線 ，在此直線上點P右側的任意一點 ，都有 ∴
于是
所以
因為點 ，是L上的任意點，所以，對于直線 右上方的任意點 ，
都成立
同理，對于直線 左下方的任意點 ，
都成立
所以，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集點.
是直線 右上方的平面區域（如圖）
類似地，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集合 是直線 左下方的平面區域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
（1）結論：二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側所有點組成的平面區域.
把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式 就表示的面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.
（2）判斷方法：由于對在直線 同一側的所有點 ，把它的坐標 代入 ，所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取一個特殊點 ，以 的正負情況便可判斷 表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當 時，常把原點作為此特殊點.
【應用舉例】
例1 畫出不等式 表示的平面區域
解；先畫直線 （畫線虛線）取原點（0，0），代入 ，
∴ ∴ 原點在不等式 表示的平面區域內，不等式 表示的平面區域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區域
分析：在不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
解：不等式 表示直線 上及右上方的平面區域， 表示直線 上及右上方的平面區域， 上及左上方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分.
課堂練習
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域.
（1） （2） （3）
（4） （5）
總結提煉
1.二元一次不等式表示的平面區域.
2.二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區域.
布置作業
1.不等式 表示的區域在 的（ ）.
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
2.不等式 表示的平面區域是（ ）.
3.不等式組 表示的平面區域是（ ）.
4.直線 右上方的平面區域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區域內的整點坐標是 .
6.畫出 表示的區域.
答案：
1.B 2.D 3.B 4. 5.（－1，－1）
6.
線性規劃 篇14
線性規劃教學設計方案（二）
教學目標
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域，能用此來求目標函數的最值.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點.
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點.
教學步驟
【新課引入】
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區域，在這里開始，教學又翻開了新的一頁，在今后的學習中，我們可以逐步看到它的運用.
【線性規劃】
先討論下面的問題
設 ，式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的最大值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區域，如圖中 內部且包括邊界.點（0，0）不在這個三角形區域內，當 時， ，點（0，0）在直線 上.
作一組和 平等的直線
可知，當l在 的右上方時，直線l上的點 滿足 .
即 ，而且l往右平移時，t隨之增大，在經過不等式組①表示的三角形區域內的點且平行于l的直線中，以經過點A（5，2）的直線l，所對應的t最大，以經過點 的直線 ，所對應的t最小，所以
在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件.
是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數，由于 又是x、y的解析式，所以又叫線性目標函數，上述問題就是求線性目標函數 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示.
一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題，滿足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解.
【應用舉例】
例1 解下列線性規劃問題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件
解：先作出可行域，見圖中 表示的區域，且求得 .
作出直線 ，再將直線 平移，當 的平行線 過B點時，可使 達到最小值，當 的平行線 過C點時，可使 達到最大值.
通過這個例子講清楚線性規劃的步驟，即：
第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；
第二步：在可行域內找出最優解所對應的點；
第三步：解方程的最優解，從而求出目標函數的最大值或最小值.
例2 解線性規劃問題：求 的最大值，使式中的x、y滿足約束條件.
解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區域.
作出直線 將它平移至點B，顯然，點B的坐標是可行域中的最優解，它使 達到最大值，解方程組 得點B的坐標為（9，2）.
∴
這個例題可在教師的指導下，由學生解出.在此例中，若目標函數設為 ，約束條件不變，則z的最大值在點C（3，6）處取得.事實上，可行域內最優解對應的點在何處，與目標函數 所確定的直線 的斜率 有關.就這個例子而言，當 的斜率為負數時，即 時，若 （直線 的斜率）時，線段BC上所有點都是使z取得最大值（如本例）；當 時，點C處使z取得最大值（比如： 時），若 ，可請同學思考.
隨堂練習
1.求 的最小值，使式中的 滿足約束條件
2.求 的最大值，使式中 滿足約束條件
答案：1. 時， .
2. 時， .
總結提煉
1.線性規劃的概念.
2.線性規劃的問題解法.
布置作業
1.求 的最大值，使式中的 滿足條件
2.求 的最小值，使 滿足下列條件
答案：1.
2.在可行域內整點中，點（5，2）使z最小，
探究活動
利潤的線性規劃［問題］某企業1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預2001年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬？
［分析］首先應考慮在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點坐標后，如何運用這三點坐標，是僅用其中的兩點，還是三點信息的綜合運用，運用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點的直線、平行某個線段的直線、與某些點距離最小的直線作為預測直線等等.
建立平面直角坐標系，設1997年的利潤為5萬元對應的點為 （0，5），1998年的利潤為 7萬元及1999年的利潤為 8萬元分別對應點 （1，7）和 （2，8），那么
①若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為13萬元.
②若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11萬元.
③若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10萬元.
④若將過 及線段 的中點 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.
⑤若將過 及 的重心 （注： 為3年的年平均利潤）的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.
⑥若將過 及 的重心 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10.667萬元.
⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為9萬元.
⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.5萬元.
⑨若將過點 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預測直線，則預測直線 的方程為； ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.
⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.
如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉.
［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結果完全一致，這是為什么？
（2）第⑦種方案中， 的現實意義是什么？
（3）根據以上的基本解題思路，請你思考新的方案.如方案⑥中，過 的重心 ，找出以 為斜率的直線中與 兩點的距離的平方和最小的直線作為預測直線.
（4）根據以上結論及你自己的答案估計一下利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更為有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？
線性規劃 篇15
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點 。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點 。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1.物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2.產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3.下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
A.教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點M（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B.討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
C.改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內點M（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
故生產書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。
總結、擴展
1.線性規劃問題的數字模型。
2.線性規劃在兩類問題中的應用
布置作業
到附近的工廠、鄉鎮企業、商店、學校等作調查研究，了解線性規劃在實際中的應用，或提出能用線性規劃的知識提高生產效率的實際問題，并作出解答。把實習和研究活動的成果寫成實習報告、研究報告或小論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用.已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸， 軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示.作A關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點P.由平面幾何知識得，點P即為所求.據已知條件，A（0，300）， （0，－300）.過B作 軸于點 ，過A作 ，于點H.
由 ， ，得B（300，700）.于是直線 的方程為
即
所以P點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點90 m的地方
研究性課題與實習作業 ：線性規劃的實際應用
線性規劃 篇16
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德.
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率.
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務.
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題.
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全.學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現.一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖.
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流.展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心.通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足.通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升.
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1.物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2.產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的a、b、c三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3.下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
a.教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點m（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是7XX元。
b.討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
c.改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內點m（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
故生產書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。
總結、擴展
1.線性規劃問題的數字模型。
2.線性規劃在兩類問題中的應用
布置作業
到附近的工廠、鄉鎮企業、商店、學校等作調查研究，了解線性規劃在實際中的應用，或提出能用線性規劃的知識提高生產效率的實際問題，并作出解答。把實習和研究活動的成果寫成實習報告、研究報告或小論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊a，b，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用.已知 a，b兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點a，b，小河為一條直線l，原問題便轉化成在直線上找一點p，使p點到a，b兩點距離之和為最小的問題.
以l所在直線為 軸， 軸通過a點建立直角坐標系，如圖所示.作a關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點p.由平面幾何知識得，點p即為所求.據已知條件，a（0，300）， （0，－300）.過b作 軸于點 ，過a作 ，于點h.
由 ， ，得b（300，700）.于是直線 的方程為
即
所以p點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離a村距河邊的最近點90 m的地方