復數的有關概念
教學目標
(1)掌握復數的有關概念,如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。
(2)正確對復數進行分類,掌握數集之間的從屬關系;
(3)理解復數的幾何意義,初步掌握復數集c和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。
(4)培養學生數形結合的數學思想,訓練學生條理的邏輯思維能力.
教學建議
(一)教材分析
1、知識結構
本節首先介紹了復數的有關概念,然后指出復數相等的充要條件,接著介紹了有關復數的幾何表示,最后指出了有關共軛復數的概念.
2、重點、難點分析
(1)正確復數的實部與虛部
對于復數 ,實部是 ,虛部是 .注意在說復數 時,一定有 ,否則,不能說實部是 ,虛部是 ,復數的實部和虛部都是實數。
說明:對于復數的定義,特別要抓住 這一標準形式以及 是實數這一概念,這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。
(2)正確地對復數進行分類,弄清數集之間的關系
分類要求不重復、不遺漏,同一級分類標準要統一。根據上述原則,復數集的分類如下:
注意分清復數分類中的界限:
①設 ,則 為實數
② 為虛數
③ 且 。
④ 為純虛數 且
(3)不能亂用復數相等的條件解題.用復數相等的條件要注意:
①化為復數的標準形式
②實部、虛部中的字母為實數,即
(4)在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時,要注意:
①任何一個復數 都可以由一個有序實數對( )唯一確定.這就是說,復數的實質是有序實數對.一些書上就是把實數對( )叫做復數的.
②復數 用復平面內的點z( )表示.復平面內的點z的坐標是( ),而不是( ),也就是說,復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用復平面內的點(0,1)表示 時,這點與原點的距離是1,等于縱軸上的單位長度.這就是說,當我們把縱軸上的點(0,1)標上虛數 時,不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位 ,或者 就是縱軸的單位長度.
③當 時,對任何 , 是純虛數,所以縱軸上的點( )( )都是表示純虛數.但當 時, 是實數.所以,縱軸去掉原點后稱為虛軸.
由此可見,復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點,而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.
④復數z=a+bi中的z,書寫時小寫,復平面內點z(a,b)中的z,書寫時大寫.要學生注意.
(5)關于共軛復數的概念
設 ,則 ,即 與 的實部相等,虛部互為相反數(不能認為 與 或 是共軛復數).
教師可以提一下當 時的特殊情況,即實軸上的點關于實軸本身對稱,例如:5和-5也是互為共軛復數.當 時, 與 互為共軛虛數.可見,共軛虛數是共軛復數的特殊情行.