不等式的證明（精選14篇）
不等式的證明 篇1
第四課時
教學目標
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實質——執果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.
（學生活動）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入 本節課學習內容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究.建立新的知識；分析法證明不等式.培養學習創新意識.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？
［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因為
只需證 ，
即證 ，
即證
因為 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.）
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
【字幕】練習1.求證
2.求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明
設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題.
（五）課后點評
教學過程 是不斷發現問題、解決問題的思維過程.本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決.一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務.總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態.
本節課練中有講，講中有練，講練結合.在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構.
作業 答案：
思考題：
.因為 ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價于
由已知有 . 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 .因為 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，并聯電阻為 ，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
不等式的證明 篇2
第四課時
教學目標
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實質——執果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.
（學生活動）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入 本節課學習內容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究.建立新的知識；分析法證明不等式.培養學習創新意識.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？
［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因為
只需證 ，
即證 ，
即證
因為 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.）
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
【字幕】練習1.求證
2.求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明
設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題.
（五）課后點評
教學過程 是不斷發現問題、解決問題的思維過程.本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決.一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務.總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態.
本節課練中有講，講中有練，講練結合.在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構.
作業 答案：
思考題：
.因為 ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價于
由已知有 . 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 .因為 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，并聯電阻為 ，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
不等式的證明 篇3
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣.
教學建議
（一）教材分析
1.知識結構
2.重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當的證明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求差比較法.
由于當 時， ，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式.或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號是正或負即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效.
（5）關于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.即推理方向是：結論 已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.即：已知 結論.
③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優缺點：
從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論.
從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達.
⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系.教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.
要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力.
②在教學過程 中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與.
通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題.
③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難.
第一課時
教學目標
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學重點 比較法的意義和基本步驟.
教學難點 常見的變形技巧.
教學方法 啟發引導式.
教學過程
（－）導入 新課
（教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數 與 的大小？.
（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題.
（學生甲回答： ， ， ，）
［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現在我們就來學習：用比較法證明不等式.（板書課題）
設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入 本節課學習的知識.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明.
（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點評］
①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.
②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.
③理論依據是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.
例1 求證
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關于 的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點評］
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號.
②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定.
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因為 都是正數，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號.
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法.
③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數.
1.當 時，
2.當 時， .以后要記住.
設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考.完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題.
[字幕]
練習：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數，且 ，求證
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號.要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設 ， ， 都是正數，且 ，求證：
設計意圖，課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識.
（五）課后點評
1.本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入 新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識.
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對差式變形是難點，應著重解決.首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破.
4.本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成.教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
作業 答實
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇4
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣.
教學建議
（一）教材分析
1.知識結構
2.重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當的證明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求差比較法.
由于當 時， ，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式.或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號是正或負即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效.
（5）關于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.即推理方向是：結論 已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.即：已知 結論.
③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優缺點：
從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論.
從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達.
⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系.教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.
要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力.
②在教學過程 中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與.
通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題.
③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難.
第一課時
教學目標
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學重點 比較法的意義和基本步驟.
教學難點 常見的變形技巧.
教學方法 啟發引導式.
教學過程
（－）導入 新課
（教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數 與 的大小？.
（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題.
（學生甲回答： ， ， ，）
［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現在我們就來學習：用比較法證明不等式.（板書課題）
設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入 本節課學習的知識.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明.
（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點評］
①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.
②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.
③理論依據是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.
例1 求證
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關于 的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點評］
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號.
②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定.
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因為 都是正數，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號.
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法.
③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數.
1.當 時，
2.當 時， .以后要記住.
設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考.完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題.
[字幕]
練習：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數，且 ，求證
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號.要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設 ， ， 都是正數，且 ，求證：
設計意圖，課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識.
（五）課后點評
1.本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入 新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識.
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對差式變形是難點，應著重解決.首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破.
4.本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成.教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
作業 答實
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇5
第四課時
教學目標
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實質——執果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.
（學生活動）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入 本節課學習內容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究.建立新的知識；分析法證明不等式.培養學習創新意識.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？
［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因為
只需證 ，
即證 ，
即證
因為 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.）
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
【字幕】練習1.求證
2.求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明
設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題.
（五）課后點評
教學過程 是不斷發現問題、解決問題的思維過程.本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決.一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務.總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態.
本節課練中有講，講中有練，講練結合.在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構.
作業 答案：
思考題：
.因為 ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價于
由已知有 . 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 .因為 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，并聯電阻為 ，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
不等式的證明 篇6
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣.
教學建議
（一）教材分析
1.知識結構
2.重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當的證明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求差比較法.
由于當 時， ，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式.或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號是正或負即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效.
（5）關于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.即推理方向是：結論 已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.即：已知 結論.
③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優缺點：
從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論.
從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達.
⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系.教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.
要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力.
②在教學過程中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與.
通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題.
③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難.
第一課時
教學目標
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學重點 比較法的意義和基本步驟.
教學難點 常見的變形技巧.
教學方法 啟發引導式.
教學過程
（－）導入 新課
（教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數 與 的大小？.
（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題.
（學生甲回答： ， ， ，）
［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現在我們就來學習：用比較法證明不等式.（板書課題）
設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入 本節課學習的知識.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明.
（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點評］
①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.
②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.
③理論依據是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.
例1 求證
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關于 的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點評］
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號.
②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定.
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因為 都是正數，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號.
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法.
③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數.
1.當 時，
2.當 時， .以后要記住.
設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考.完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題.
[字幕]
練習：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數，且 ，求證
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號.要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設 ， ， 都是正數，且 ，求證：
設計意圖，課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識.
（五）課后點評
1.本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入 新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識.
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對差式變形是難點，應著重解決.首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破.
4.本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成.教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
作業 答實
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇7
第二課時
教學目標
1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學生解題時應變能力.
教學重點 比較法的應用
教學難點 常見解題技巧
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評.
（學生活動）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用.（板書課題）
設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評.
（學生活動）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡
2.比較 與 （ ）的大小.
（學生解答問題）
［點評］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化.
②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.
設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程.
（學生活動）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數，且 ，求證
［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關系.并說明理由.
［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號.
解：
因為 ，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時，
時，
時，
［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.
[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生應用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習：1.設 ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.
2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會用分類討論的方法確定差式的符號.
4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題.
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.
設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力.
（五）課后點評
1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.
2.教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用.例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用.
作業 答案
思考題：證明：
因為 ，所以當 時， ，故
又因為 ，所以
當 時， ，故 ，即 ，所以
當 時， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長.
第三課時
教學目標
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學的重要不等式；
3.增強學生的邏輯推理能力.
教學重點 綜合法
教學難點 不等式性質的綜合運用
教學方法 啟發引導式
教學活動
（－）導入 新課
（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評.
（學生活動）完成練習.
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6.1節和6.2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容.（板書課題）
設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入 新課：綜合法證明不等式.提出學習任務.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點評證法的數學原理，
（學生活動）學生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因為 ，所以 ，即 .）
[點評]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質.
設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因為 ，則 ，所以 .故
［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發可證.
證明一（見課本）
證明二：
因為a，b，c是不全相等的正數.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號.
所以
即
[點評]
①綜合法的思維特點是：由已知推出結論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號.
③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明.
我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法.
設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習.甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習1 已知，求證
2.已知 ，求證
設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納，小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程.小結用綜合法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關系是： … （A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因導果”.
2.運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以 千米/小時的速度直達災區.已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？
設計意圖：課本作業 鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成.研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
（五）課后點評
1.在導入 新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難.因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構.
2.例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系.在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用.
作業 答案
思考題：證明：因為 ，又因為 ，所以 .同理 ； 將上述三個不等式相加得
所以
研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為 小時，則
所以最短時間為12小時.
不等式的證明 篇8
第四課時
教學目標
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實質——執果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.
（學生活動）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入 本節課學習內容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究.建立新的知識；分析法證明不等式.培養學習創新意識.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？
［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因為
只需證 ，
即證 ，
即證
因為 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.）
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
【字幕】練習1.求證
2.求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明
設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題.
（五）課后點評
教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程.本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決.一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務.總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態.
本節課練中有講，講中有練，講練結合.在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構.
作業 答案：
思考題：
.因為 ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價于
由已知有 . 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 .因為 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，并聯電阻為 ，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
不等式的證明 篇9
第二課時
教學目標
1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學生解題時應變能力.
教學重點 比較法的應用
教學難點 常見解題技巧
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評.
（學生活動）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用.（板書課題）
設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評.
（學生活動）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡
2.比較 與 （ ）的大小.
（學生解答問題）
［點評］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化.
②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.
設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程.
（學生活動）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數，且 ，求證
［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關系.并說明理由.
［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號.
解：
因為 ，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時，
時，
時，
［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.
[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生應用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習：1.設 ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.
2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會用分類討論的方法確定差式的符號.
4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題.
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.
設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力.
（五）課后點評
1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.
2.教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用.例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用.
作業 答案
思考題：證明：
因為 ，所以當 時， ，故
又因為 ，所以
當 時， ，故 ，即 ，所以
當 時， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長.
第三課時
教學目標
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學的重要不等式；
3.增強學生的邏輯推理能力.
教學重點 綜合法
教學難點 不等式性質的綜合運用
教學方法 啟發引導式
教學活動
（－）導入 新課
（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評.
（學生活動）完成練習.
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6.1節和6.2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容.（板書課題）
設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入 新課：綜合法證明不等式.提出學習任務.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點評證法的數學原理，
（學生活動）學生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因為 ，所以 ，即 .）
[點評]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質.
設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因為 ，則 ，所以 .故
［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發可證.
證明一（見課本）
證明二：
因為a，b，c是不全相等的正數.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號.
所以
即
[點評]
①綜合法的思維特點是：由已知推出結論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號.
③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明.
我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法.
設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習.甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習1 已知，求證
2.已知 ，求證
設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納，小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程.小結用綜合法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關系是： … （A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因導果”.
2.運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以 千米/小時的速度直達災區.已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？
設計意圖：課本作業 鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成.研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
（五）課后點評
1.在導入 新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難.因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構.
2.例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系.在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用.
作業 答案
思考題：證明：因為 ，又因為 ，所以 .同理 ； 將上述三個不等式相加得
所以
研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為 小時，則
所以最短時間為12小時.
不等式的證明 篇10
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣.
教學建議
（一）教材分析
1.知識結構
2.重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當的證明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求差比較法.
由于當 時， ，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式.或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號是正或負即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效.
（5）關于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.即推理方向是：結論 已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.即：已知 結論.
③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優缺點：
從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論.
從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達.
⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系.教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.
要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力.
②在教學過程 中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與.
通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題.
③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難.
第一課時
教學目標
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學重點 比較法的意義和基本步驟.
教學難點 常見的變形技巧.
教學方法 啟發引導式.
教學過程
（－）導入 新課
（教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數 與 的大小？.
（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題.
（學生甲回答： ， ， ，）
［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現在我們就來學習：用比較法證明不等式.（板書課題）
設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入 本節課學習的知識.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明.
（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點評］
①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.
②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.
③理論依據是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.
例1 求證
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關于 的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點評］
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號.
②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定.
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因為 都是正數，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號.
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法.
③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數.
1.當 時，
2.當 時， .以后要記住.
設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考.完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題.
[字幕]
練習：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數，且 ，求證
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號.要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設 ， ， 都是正數，且 ，求證：
設計意圖，課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識.
（五）課后點評
1.本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入 新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識.
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對差式變形是難點，應著重解決.首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破.
4.本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成.教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
作業 答實
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇11
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣.
教學建議
（一）教材分析
1.知識結構
2.重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當的證明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求差比較法.
由于當 時， ，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式.或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號是正或負即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效.
（5）關于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.即推理方向是：結論 已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.即：已知 結論.
③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優缺點：
從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論.
從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達.
⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系.教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.
要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力.
②在教學過程中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與.
通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題.
③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難.
第一課時
教學目標
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學重點 比較法的意義和基本步驟.
教學難點 常見的變形技巧.
教學方法 啟發引導式.
教學過程
（－）導入 新課
（教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數 與 的大小？.
（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題.
（學生甲回答： ， ， ，）
［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現在我們就來學習：用比較法證明不等式.（板書課題）
設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入 本節課學習的知識.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明.
（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點評］
①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.
②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.
③理論依據是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.
例1 求證
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關于 的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點評］
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號.
②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定.
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因為 都是正數，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號.
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法.
③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數.
1.當 時，
2.當 時， .以后要記住.
設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考.完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題.
[字幕]
練習：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數，且 ，求證
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號.要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設 ， ， 都是正數，且 ，求證：
設計意圖，課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識.
（五）課后點評
1.本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入 新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識.
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對差式變形是難點，應著重解決.首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破.
4.本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成.教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
作業 答實
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇12
第四課時
教學目標
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實質——執果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.
（學生活動）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入 本節課學習內容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究.建立新的知識；分析法證明不等式.培養學習創新意識.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？
［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因為
只需證 ，
即證 ，
即證
因為 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.）
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
【字幕】練習1.求證
2.求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明
設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題.
（五）課后點評
教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程.本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決.一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務.總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態.
本節課練中有講，講中有練，講練結合.在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構.
作業 答案：
思考題：
.因為 ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價于
由已知有 . 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 .因為 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，并聯電阻為 ，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
不等式的證明 篇13
第二課時
教學目標
1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學生解題時應變能力.
教學重點 比較法的應用
教學難點 常見解題技巧
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評.
（學生活動）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用.（板書課題）
設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評.
（學生活動）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡
2.比較 與 （ ）的大小.
（學生解答問題）
［點評］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化.
②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.
設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程.
（學生活動）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數，且 ，求證
［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關系.并說明理由.
［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號.
解：
因為 ，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時，
時，
時，
［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.
[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生應用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習：1.設 ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.
2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會用分類討論的方法確定差式的符號.
4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題.
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.
設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力.
（五）課后點評
1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.
2.教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用.例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用.
作業 答案
思考題：證明：
因為 ，所以當 時， ，故
又因為 ，所以
當 時， ，故 ，即 ，所以
當 時， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長.
第三課時
教學目標
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學的重要不等式；
3.增強學生的邏輯推理能力.
教學重點 綜合法
教學難點 不等式性質的綜合運用
教學方法 啟發引導式
教學活動
（－）導入 新課
（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評.
（學生活動）完成練習.
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6.1節和6.2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容.（板書課題）
設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入 新課：綜合法證明不等式.提出學習任務.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點評證法的數學原理，
（學生活動）學生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因為 ，所以 ，即 .）
[點評]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質.
設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因為 ，則 ，所以 .故
［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發可證.
證明一（見課本）
證明二：
因為a，b，c是不全相等的正數.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號.
所以
即
[點評]
①綜合法的思維特點是：由已知推出結論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號.
③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明.
我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法.
設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習.甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習1 已知，求證
2.已知 ，求證
設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納，小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程.小結用綜合法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關系是： … （A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因導果”.
2.運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以 千米/小時的速度直達災區.已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？
設計意圖：課本作業 鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成.研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
（五）課后點評
1.在導入 新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難.因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構.
2.例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系.在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用.
作業 答案
思考題：證明：因為 ，又因為 ，所以 .同理 ； 將上述三個不等式相加得
所以
研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為 小時，則
所以最短時間為12小時.
不等式的證明 篇14
第二課時
教學目標
1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學生解題時應變能力.
教學重點 比較法的應用
教學難點 常見解題技巧
教學方法 啟發引導式
教學活動
（一）導入 新課
（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評.
（學生活動）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用.（板書課題）
設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評.
（學生活動）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡
2.比較 與 （ ）的大小.
（學生解答問題）
［點評］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化.
②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.
設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程.
（學生活動）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數，且 ，求證
［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關系.并說明理由.
［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號.
解：
因為 ，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時，
時，
時，
［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.
[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生應用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習：1.設 ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.
2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會用分類討論的方法確定差式的符號.
4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題.
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.
設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力.
（五）課后點評
1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.
2.教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用.例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用.
作業 答案
思考題：證明：
因為 ，所以當 時， ，故
又因為 ，所以
當 時， ，故 ，即 ，所以
當 時， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長.
第三課時
教學目標
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學的重要不等式；
3.增強學生的邏輯推理能力.
教學重點 綜合法
教學難點 不等式性質的綜合運用
教學方法 啟發引導式
教學活動
（－）導入 新課
（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評.
（學生活動）完成練習.
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6.1節和6.2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容.（板書課題）
設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入 新課：綜合法證明不等式.提出學習任務.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點評證法的數學原理，
（學生活動）學生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因為 ，所以 ，即 .）
[點評]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質.
設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因為 ，則 ，所以 .故
［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發可證.
證明一（見課本）
證明二：
因為a，b，c是不全相等的正數.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號.
所以
即
[點評]
①綜合法的思維特點是：由已知推出結論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號.
③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明.
我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法.
設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習.甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習1 已知，求證
2.已知 ，求證
設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調節課堂教學.
【分析歸納，小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程.小結用綜合法證明不等式的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關系是： … （A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因導果”.
2.運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以 千米/小時的速度直達災區.已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？
設計意圖：課本作業 鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成.研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
（五）課后點評
1.在導入 新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難.因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構.
2.例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系.在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用.
作業 答案
思考題：證明：因為 ，又因為 ，所以 .同理 ； 將上述三個不等式相加得
所以
研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為 小時，則
所以最短時間為12小時.