不等式的證明（三）

不等式的證明（三）

第四課時

教學目標 

1.掌握分析法證明不等式；

2.理解分析法實質——執果索因；

3.提高證明不等式證法靈活性.

教學重點  分析法

教學難點   分析法實質的理解

教學方法  啟發引導式

教學活動

（一）導入  新課

（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.

（學生活動）回答和思考教師提出的問題.

［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）

設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入  本節課學習內容：用分析法證明不等式.

（二）新課講授

【嘗試探索、建立新知】

（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.

（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.

[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.

［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？

［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.

[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）

設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究.建立新的知識；分析法證明不等式.培養學習創新意識.

【例題示范、學會應用】

（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.

（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.

例1 求證

[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法.

證明：（見課本）

[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此.

例2 已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？

［投影］證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.

證法二：欲證 ，因為

            只需證 ，

            即證 ，

            即證

因為 成立，所以 成立.

（證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.）

[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：

（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）

分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：

要證命題B為真，

只需證明 為真，從而有……

這只需證明 為真，從而又有……

……

這只需證明A為真.

而已知A為真，故命題B必為真.

要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.

[投影] 例3  證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：

證明：（見課本）

設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌

握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.

【課堂練習】

（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.

（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.

【字幕】練習1.求證

2.求證：

設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學.

【分析歸納、小結解法】

（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.

（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.

1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.

2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式.

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識.

（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.

本節課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：

通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程.

設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

（四）布置作業 

1.課本作業 ：P17  4、5.

2.思考題：若 ，求證

3.研究性題：已知函數 ， ，若 、 ，且 證明

設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題.

    （五）課后點評

教學過程 是不斷發現問題、解決問題的思維過程.本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決.一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務.總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態.

本節課練中有講，講中有練，講練結合.在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.

在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構.

作業 答案：

思考題：

.因為 ，故 ，所以 成立.

研究性題：令 ， ，則：

， ，

故原不等式等價于

由已知有 . 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 .因為 ，上式成立，所以原不等式成立。                                           

不等式的實際解釋

題目：不等式： 是正數，且 ，則 。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。

分析與解

1.先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有

2. 是正數，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

3.電阻串并聯。電阻值為 、 的電阻，串聯電阻為 ，并聯電阻為 ，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式 ，即

說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。