球的體積和表面積
課 型：新授課
一. 教學目標
1.知識與技能
⑴通過對球的體積和面積公式的推導，了解推導過程中所用的基本數學思想方法：“分割——求和——化為準確和”，有利于同學們進一步學習微積分和近代數學知識。
⑵能運用球的面積和體積公式靈活解決實際問題。
⑶培養學生的空間思維能力和空間想象能力。
2.過程與方法
通過球的體積和面積公式的推導，從而得到一種推導球體積公式v＝ πr3和面積公式s＝4πr2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉化為球的體積和面積”的方法，體現了極限思想。
3.情感與價值觀
通過學習，使我們對球的體積和面積公式的推導方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強了我們探索問題和解決問題的信心。
二. 教學重點、難點
重點：引導學生了解推導球的體積和面積公式所運用的基本思想方法。
難點：推導體積和面積公式中空間想象能力的形成。
三. 學法和教學用具
1. 學法：學生通過閱讀教材，發揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和轉化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。
2. 教學用具：多媒體課件
四. 教學設計
（一） 創設情景
⑴教師提出問題：球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？引導學生進行思考。
⑵教師設疑：球的大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？激發學生推導球的體積和面積公式。
（二） 探究新知
1.球的體積：
如果用一組等距離的平面去切割球，當距離很小之時得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準確和”的方法來進行。
步驟：
第一步：分割
如圖：把半球的垂直于底面的半徑oa作n等分，過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為 ，底面是“小圓片”的底面。
如圖：
得
第二步：求和
第三步：化為準確的和
當n→∞時， →0 （同學們討論得出）
所以
得到定理：半徑是r的球的體積
練習：一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內徑(鋼的密度是7.9g/cm3)
2.球的表面積：
球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑r的函數,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉化為準確和”方法推導。
思考：推導過程是以什么量作為等量變換的？
半徑為r的球的表面積為 s＝4πr2
練習：長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5，是它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是 。 （答案50元）
（三）體積公式的實際應用：
例①：一種空心鋼球的質量是142g，外徑是5.0cm，求它的內徑. （鋼密度7.9g/cm3）