基本不等式

課題: §3.4

【學習目標】

1.知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

【能力培養】

培養學生嚴謹、規范的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；及其在求最值時初步應用

【教學難點】

基本不等式等號成立條件

【教學過程】

一、課題導入

基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，教師引導學生從面積的關系去找不等關系。

二、講授新課

1.問題探究——探究圖形中的不等關系。

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有。

2.總結結論：一般的，如果

（結論的得出盡量發揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

3.思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

4.特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得，

通常我們把上式寫作：

①從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：（略）

②理解基本不等式的幾何意義

探究：對課本第98頁的“探究”（幾何證明）

注:在數學中，我們稱為a、b的算術平均數，稱為a、b的幾何平均數.本節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

5、例：當 時， 取什么值， 的值最小？最小值是多少？

6、課時小結

本節課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數a、b的算術平均數（），幾何平均數（）及它們的關系（ ≥ ）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數，而后者要求a、b都是正數.它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數最值的重要工具(下一節我們將進一步學習它們的應用).

7、作業：

課本第100頁習題[a]組的第1、2題

板書設計

課題: §3.4基本不等式

一、兩個不等式

二、例題及練習

【教后小結】